Упр.3.27 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 3.27. Решите уравнение |2^x-1|+|2^x-2|=1.

Рассмотрим случаи в зависимости от значений выражений под модулем.

1) Если $$x \ge 1,$$ то $$2^x-1 \ge 0$$ и $$2^x-2 \ge 0.$$ Тогда

$$
|2^x-1|+|2^x-2|=(2^x-1)+(2^x-2)=1.
$$

Получаем

$$
2\cdot 2^x-3=1,
$$

$$
2\cdot 2^x=4,
$$

$$
2^x=2,
$$

$$
x=1.
$$

2) Если $$0 \le x < 1,$$ то $$2^x-1 \ge 0,$$ а $$2^x-2 < 0.$$ Тогда

$$
|2^x-1|+|2^x-2|=(2^x-1)-(2^x-2)=1.
$$

Это тождество верно при всех $$x$$ из данного промежутка.

3) Если $$x < 0,$$ то $$2^x-1 < 0$$ и $$2^x-2 < 0.$$ Тогда

$$
|2^x-1|+|2^x-2|=-(2^x-1)-(2^x-2)=1.
$$

Получаем

$$
-2\cdot 2^x+3=1,
$$

$$
2\cdot 2^x=2,
$$

$$
2^x=1,
$$

$$
x=0,
$$

но это не подходит, так как $$x<0.$$

Следовательно, решениями уравнения являются все $$x$$ из промежутка $$[0;1].$$

Ответ

$$[0;1]$$