Упр.3.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 3.26. Решите уравнение |3^x-1|+|3^x-9|=8.

Рассмотрим уравнение $$|3^x-1|+|3^x-9|=8.$$

Обозначим $$t=3^x.$$ Тогда $$t>0,$$ и уравнение принимает вид

$$|t-1|+|t-9|=8.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$t\ge 9,$$ то

   $$|t-1|+|t-9|=(t-1)+(t-9)=8.$$

   Получаем

   $$2t-10=8,$$

   $$2t=18,$$

   $$t=9.$$

2. Если $$1\le t<9,$$ то

   $$|t-1|+|t-9|=(t-1)+(9-t)=8.$$

   Это верно при любом $$t$$ из данного промежутка.

3. Если $$0<t<1,$$ то

   $$|t-1|+|t-9|=(1-t)+(9-t)=8.$$

   Тогда

   $$10-2t=8,$$

   $$2t=2,$$

   $$t=1.$$

Итак, получаем

$$0<t\le 9.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ имеем

$$0<3^x\le 9.$$

Так как $$3^x>0$$ при любом $$x,$$ а $$3^x\le 9=3^2,$$ то

$$x\le 2.$$

При этом из случая $$t\ge 9$$ получаем $$x=2,$$ а из промежутка $$1\le t<9$$ — все $$x$$ от $$0$$ до $$2$$ включительно. Следовательно,

$$x\in[0;2].$$

Ответ

$$[0;2]$$