Упр.3.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 3.25. Решите неравенство x^2·3^x+9 < x^2+3^(x+2).

$$x^2\cdot 3^x+9<x^2+3^{x+2}$$

Преобразуем правую часть:

$$3^{x+2}=9\cdot 3^x$$

Тогда

$$x^2\cdot 3^x+9<x^2+9\cdot 3^x$$

Перенесём всё в левую часть:

$$x^2\cdot 3^x-x^2-9\cdot 3^x+9<0$$

Сгруппируем:

$$x^2(3^x-1)-9(3^x-1)<0$$

Вынесем общий множитель:

$$\left(x^2-9\right)(3^x-1)<0$$

Разложим разность квадратов:

$$ (x-3)(x+3)(3^x-1)<0 $$

Так как $$3^x-1<0$$ при $$x<0$$, а $$3^x-1>0$$ при $$x>0$$, рассмотрим знаки множителей. Нули выражения: $$x=-3,\;x=0,\;x=3.$$

Проверка промежутков даёт:

$$x<-3 \quad \text{или} \quad 0<x<3.$$

Ответ

$$(-\infty;\,-3)\cup(0;\,3)$$