Упр.3.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^2·2^x+1 > x^2+2^x; 2) 25·2^x-10^x+5^x > 25.

1. $$x^2\cdot 2^x+1>x^2+2^x$$

   Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:
   $$x^2\cdot 2^x-x^2+1-2^x>0$$
   $$2^x(x^2-1)-(x^2-1)>0$$
   $$\left(2^x-1\right)\left(x^2-1\right)>0$$
   $$\left(2^x-1\right)(x-1)(x+1)>0$$

   Так как $$2^x-1>0$$ при $$x>0$$ и $$2^x-1<0$$ при $$x<0$$, рассмотрим знаки множителей. Удобнее заметить, что
   $$2^x-1=0 \text{ при } x=0,\qquad x^2-1=0 \text{ при } x=\pm1.$$
   Проверка промежутков даёт:
   $$x\in(-1;0)\cup(1;+\infty).$$

2. $$25\cdot 2^x-10^x+5^x>25$$

   Перенесём 25 влево:
   $$25\cdot 2^x-10^x+5^x-25>0$$
   $$25(2^x-1)-5^x(2^x-1)>0$$
   $$\left(25-5^x\right)\left(2^x-1\right)>0$$
   $$\left(5^2-5^x\right)\left(2^x-1\right)>0$$
   $$\left(5^2-5^x\right)\left(2^x-2^0\right)>0$$

   Так как функция $$5^x$$ возрастает, то
   $$25-5^x>0 \iff x<2,$$
   а
   $$2^x-1>0 \iff x>0.$$
   Следовательно,
   $$0<x<2.$$

Ответ

1) $$(-1;0)\cup(1;+\infty)$$;
2) $$(0;2).$$