Упр.3.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3·16^x+2·81^x-5·36^x < 0; 2) 2·49^(1/x)-9·14^(1/x)+7·4^(1/x) > 0.

1) Преобразуем степени к основанию $$4$$:

$$
3\cdot 16^x+2\cdot 81^x-5\cdot 36^x<0
$$
$$
3\cdot 4^{2x}-5\cdot 6^{2x}+2\cdot 9^{2x}<0
$$
$$
3\left(\frac{4}{9}\right)^{2x}-5\left(\frac{4}{9}\right)^x+2<0.
$$

Обозначим $$t=\left(\frac{4}{9}\right)^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

$$
3t^2-5t+2<0
$$
$$
D=25-24=1
$$
$$
t_1=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3},\qquad t_2=\frac{5+1}{6}=1.
$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$
\frac{2}{3}<t<1.
$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$
\frac{2}{3}<\left(\frac{4}{9}\right)^x<1.
$$

Так как $$0<\frac{4}{9}<1$$, функция $$\left(\frac{4}{9}\right)^x$$ убывает, поэтому

$$
0<x<\frac12.
$$

2) Рассмотрим неравенство

$$
2\cdot 49^{1/x}-9\cdot 14^{1/x}+7\cdot 4^{1/x}>0.
$$

Преобразуем основания:

$$
2\cdot 7^{2/x}-9\cdot 14^{1/x}+7\cdot 2^{2/x}>0.
$$

Обозначим $$t=\left(\frac{7}{2}\right)^{1/x}$$. Тогда

$$
2t^2-9t+7>0.
$$

$$
D=81-56=25
$$
$$
t_1=\frac{9-5}{4}=1,\qquad t_2=\frac{9+5}{4}=\frac72.
$$

Следовательно,

$$
t<1 \quad \text{или} \quad t>\frac72.
$$

Так как $$t=\left(\frac72\right)^{1/x}$$, получаем:

$$
\left(\frac72\right)^{1/x}<1 \iff \frac1x<0 \iff x<0,
$$

а также

$$
\left(\frac72\right)^{1/x}>\frac72 \iff \frac1x>1 \iff 0<x<1.
$$

Учитывая, что $$x\neq 0$$, имеем:

$$
x\in(-\infty;0)\cup(0;1].
$$

Ответ

1) $$\left(0;\frac12\right)$$; 2) $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$.