Упр.3.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3·4^x+2·9^x-5·6^x < 0; 2) 5·25^(1/x)+3·10^(1/x) > 2·4^(1/x).

1) Преобразуем неравенство:

$$3\cdot 4^x+2\cdot 9^x-5\cdot 6^x<0$$

$$3\cdot 2^{2x}-5\cdot 6^x+2\cdot 3^{2x}<0$$

$$3\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}-5\left(\frac{2}{3}\right)^x+2<0$$

Обозначим $$t=\left(\frac{2}{3}\right)^x$$, тогда получаем:

$$3t^2-5t+2<0$$

$$D=25-24=1$$

$$t_1=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3},\qquad t_2=\frac{5+1}{6}=1$$

Тогда

$$3t^2-5t+2=(3t-2)(t-1)<0$$

$$\frac{2}{3}<t<1$$

Возвращаясь к переменной $$x$$:

$$\frac{2}{3}<\left(\frac{2}{3}\right)^x<1$$

Так как $$0<\frac{2}{3}<1$$, функция $$\left(\frac{2}{3}\right)^x$$ убывает, поэтому

$$0<x<1$$

2) Решим неравенство:

$$5\cdot 25^{1/x}+3\cdot 10^{1/x}>2\cdot 4^{1/x}$$

$$5\cdot 5^{2/x}+3\cdot 10^{1/x}-2\cdot 2^{2/x}>0$$

Положим $$t=\frac{1}{x}$$. Тогда

$$5\cdot 5^{2t}+3\cdot 10^t-2\cdot 2^{2t}>0$$

Перепишем через $$\left(\frac{5}{2}\right)^t$$:

$$5\left(\frac{5}{2}\right)^{2t}+3\left(\frac{5}{2}\right)^t-2>0$$

Обозначим $$u=\left(\frac{5}{2}\right)^t$$, тогда

$$5u^2+3u-2>0$$

$$D=3^2+4\cdot 5\cdot 2=49$$

$$u_1=\frac{-3-7}{10}=-1,\qquad u_2=\frac{-3+7}{10}=\frac{2}{5}$$

Так как $$u=\left(\frac{5}{2}\right)^t>0$$, подходит только корень $$u=\frac{2}{5}$$, и потому

$$\left(\frac{5}{2}\right)^t>\frac{2}{5}$$

Но $$\frac{2}{5}=\left(\frac{5}{2}\right)^{-1}$$, значит при основании больше 1 получаем

$$t>-1$$

То есть

$$\frac{1}{x}>-1$$

$$\frac{x+1}{x}>0$$

Отсюда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>0$$

При этом $$x\neq 0$$.

Ответ

1) $$\left(0;1\right)$$

2) $$(-\infty;-1)\cup(0;+\infty)$$