Упр.3.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (1/2)^x > 1/4; 5) 2^(x^2-1) < 8; 2) 5^x < 1/5; 6) 0,3^(4x-8) > 1;
3) 11^(x-5) < 11^(3x+1); 7) 0,1^(3x-1) < 1000; 4) 0,4^(6x+1) > 0,4^(2x+5); 8) (1/36)^(2-x) < 216^(x+1).

1. $$\left(\frac12\right)^x>\frac14$$
   $$\left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^2$$
   Так как $$0<\frac12<1,$$ то при сравнении степеней знак неравенства меняется:
   $$x<2.$$
2. $$5^x<\frac15$$
   $$5^x<5^{-1}$$
   Так как $$5>1,$$ получаем:
   $$x<-1.$$
3. $$11^{x-5}<11^{3x+1}$$
   Так как $$11>1,$$ сравниваем показатели:
   $$x-5<3x+1$$
   $$-6<2x$$
   $$x>-3.$$
4. $$0{,}4^{6x+1}>0{,}4^{2x+5}$$
   Так как $$0<0{,}4<1,$$ знак неравенства при сравнении показателей меняется:
   $$6x+1<2x+5$$
   $$4x<4$$
   $$x<1.$$
5. $$2^{x^2-1}<8$$
   $$2^{x^2-1}<2^3$$
   Так как $$2>1,$$ получаем:
   $$x^2-1<3$$
   $$x^2<4$$
   $$-2<x<2.$$
6. $$0{,}3^{4x-8}>1$$
   $$0{,}3^{4x-8}>0{,}3^0$$
   Так как $$0<0{,}3<1,$$ знак неравенства при сравнении показателей меняется:
   $$4x-8<0$$
   $$4x<8$$
   $$x<2.$$
7. $$0{,}1^{3x-1}<1000$$
   $$10^{-(3x-1)}<10^3$$
   Так как $$10>1,$$ сравниваем показатели:
   $$-(3x-1)<3$$
   $$1-3x<3$$
   $$-3x<2$$
   $$x>-\frac23.$$
8. $$\left(\frac1{36}\right)^{2-x}<216^{x+1}$$
   $$6^{-2(2-x)}<6^{3(x+1)}$$
   Так как $$6>1,$$ сравниваем показатели:
   $$-2(2-x)<3(x+1)$$
   $$-4+2x<3x+3$$
   $$-7<x.$$

Ответ

1) $$(-\infty;2)$$; 2) $$(-\infty;-1)$$; 3) $$(-3;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;1)$$; 5) $$(-2;2)$$; 6) $$(-\infty;2)$$; 7) $$\left(-\frac23;+\infty\right)$$; 8) $$(-7;+\infty)$$.