Упр.3.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3^(1/x)+3^(1/x+3) > 84; 2) 2·16^x-3·2^(4x-1)+7·4^(2x-2) < 120.

1. $$3^{\frac1x}+3^{\frac1x+3}>84$$

   Вынесем общий множитель:
   $$3^{\frac1x}+3^{\frac1x}\cdot 3^3>84$$
   $$3^{\frac1x}(1+27)>84$$
   $$28\cdot 3^{\frac1x}>84$$
   $$3^{\frac1x}>3$$
   $$3^{\frac1x}>3^1$$
   Так как основание $3>1$, получаем:
   $$\frac1x>1$$
   $$\frac{1-x}{x}>0$$
   Отсюда
   $$0<x<1.$$

2. $$2\cdot 16^x-3\cdot 2^{4x-1}+7\cdot 4^{2x-2}\le 120$$

   Представим все слагаемые через $16^x$:
   $$2\cdot 16^x-3\cdot 16^x\cdot \frac12+7\cdot 16^x\cdot \frac1{16}\le 120$$
   $$16^x\left(2-\frac32+\frac7{16}\right)\le 120$$
   $$16^x\cdot \frac{15}{16}\le 120$$
   $$16^x\le 128$$
   $$2^{4x}\le 2^7$$
   Так как основание $2>1$, получаем:
   $$4x\le 7$$
   $$x\le \frac74.$$

Ответ

1) $$(0;1)$$
2) $$(-\infty;\frac74]$$