Упр.3.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 2^(3x+1)+0,25^((1-3x)/2)-4^(3x/2) > 192;
2) 2^(2x-1)+2^(2x-3)-2^(2x-5) > 2^(7-x)+2^(5-x)-2^(3-x).

Подробный ответ

1) Преобразуем все слагаемые к основанию $$2$$:

$$
2^{3x+1}+0{,}25^{\frac{1-3x}{2}}-4^{\frac{3x}{2}} > 192
$$
$$
2^{3x}\cdot 2+2^{-2\cdot \frac{1-3x}{2}}-2^{2\cdot \frac{3x}{2}} > 192
$$
$$
2^{3x+1}+2^{3x-1}-2^{3x} > 192
$$
$$
2^{3x}+2^{3x}\cdot \frac12-2^{3x} > 192
$$
$$
2^{3x}\cdot \frac12 > 192
$$
$$
2^{3x} > 384
$$

Так как $$384=128\cdot 3$$, удобнее записать:

$$
2^{3x} > 2^7
$$
$$
3x > 7
$$
$$
x > \frac{7}{3}
$$

2) Преобразуем обе части неравенства:

$$
2^{2x-1}+2^{2x-3}-2^{2x-5} > 2^{7-x}+2^{5-x}-2^{3-x}
$$
$$
2^{2x}\cdot \frac12+2^{2x}\cdot \frac18-2^{2x}\cdot \frac1{32}
>
2^{-x}\cdot 128+2^{-x}\cdot 32-2^{-x}\cdot 8
$$
$$
2^{2x}\left(\frac12+\frac18-\frac1{32}\right) > 2^{-x}(128+32-8)
$$
$$
2^{2x}\cdot \frac{19}{32} > 2^{-x}\cdot 152
$$
$$
2^{2x}\cdot \frac{19}{32} > 2^{-x}\cdot 8\cdot 19
$$
$$
2^{2x} > 2^{-x}\cdot 128
$$
$$
2^{2x+x} > 2^7
$$
$$
3x > 7
$$
$$
x > \frac{7}{3}
$$