Упр.3.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (16-4^x)/(9x^2+12x+4) > 0; 2) (5^x-0,04)/(5-x) > 0.

1. $$\frac{16-4^x}{9x^2+12x+4}>0$$

   Заметим, что

   $$9x^2+12x+4=(3x+2)^2,$$

   поэтому знаменатель положителен при всех $$x$$, кроме $$x=-\frac23$$, где выражение не определено.

   Тогда неравенство равносильно системе условий:

   $$16-4^x>0,\qquad x\ne -\frac23.$$

   Решим первое неравенство:

   $$4^x<16=4^2,$$

   откуда

   $$x<2.$$

   С учётом области определения получаем:

   $$x\in\left(-\infty;-\frac23\right)\cup\left(-\frac23;2\right).$$

2. $$\frac{5^x-0{,}04}{5-x}>0$$

   Так как $$0{,}04=5^{-2},$$ имеем

   $$\frac{5^x-5^{-2}}{5-x}>0.$$

   Числитель обращается в нуль при $$x=-2,$$ а знаменатель — при $$x=5.$$

   Исследуем знаки множителей:

   • при $$x<-2$$ числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна;
   • при $$-2<x<5$$ числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна;
   • при $$x>5$$ числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.

   Так как требуется строгое неравенство, точки $$x=-2$$ и $$x=5$$ не входят в ответ.

   Следовательно,

   $$x\in(-2;5).$$

Ответ

1) $$\left(-\infty;-\frac23\right)\cup\left(-\frac23;2\right);$$ 2) $$(-2;5).$$