Упр.3.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 9^(x+1)-2·3^x-7 < 0; 3) (1/4)^x-3·(1/2)^x+2 > 0;
2) 2^x+2^(x/2)-72 > 0; 4) 25^x-26·5^x+25 < 0.

Подробный ответ

$$9^{x+1}-2\cdot 3^x-7<0$$
Положим $$t=3^x$$, тогда $$9^{x+1}=9\cdot 9^x=9\cdot 3^{2x}=9t^2$$. Получаем:
$$9t^2-2t-7<0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-2)^2-4\cdot 9\cdot(-7)=4+252=256$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 16}{18}$$
$$t_1=-\frac79,\quad t_2=1$$
Так как $$t=3^x>0$$, подходит только промежуток $$0<t<1$$. Значит,
$$3^x<1 \Rightarrow x<0$$
$$2^x+2^{x/2}-72>0$$
Положим $$t=2^{x/2}$$, тогда $$2^x=t^2$$. Получаем:
$$t^2+t-72>0$$
Найдём корни:
$$D=1+288=289$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 17}{2}$$
$$t_1=-9,\quad t_2=8$$
Так как $$t=2^{x/2}>0$$, имеем $$t>8$$. Тогда
$$2^{x/2}>8=2^3 \Rightarrow \frac{x}{2}>3 \Rightarrow x>6$$
$$\left(\frac14\right)^x-3\left(\frac12\right)^x+2>0$$
Положим $$t=\left(\frac12\right)^x$$, тогда $$\left(\frac14\right)^x=t^2$$. Получаем:
$$t^2-3t+2>0$$
$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)>0$$
Отсюда $$t<1$$ или $$t>2$$.
Возвращаясь к переменной $$x$$:
$$\left(\frac12\right)^x<1 \Rightarrow x>0$$
$$\left(\frac12\right)^x>2= \left(\frac12\right)^{-1} \Rightarrow x<-1$$
$$25^x-26\cdot 5^x+25<0$$
Положим $$t=5^x$$, тогда $$25^x=5^{2x}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-26t+25<0$$
$$D=26^2-4\cdot 25=676-100=576$$
$$t_{1,2}=\frac{26\pm 24}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=25$$
Так как парабола направлена вверх, то
$$1<t<25$$
Следовательно,
$$1<5^x<25=5^2 \Rightarrow 0<x<2$$