Упр.3.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 3^(2x)-4·3^x-45 > 0; 4) 0,25^x-12·0,5^x+32 > 0;
2) 4^x+2^(x+3)-20 < 0; 5) 6^(2x-1)-1/3·6^x-4 < 0;
3) 49^x-8·7^x+7 < 0; 6) 25^x+5^x-30 > 0.
$$3^{2x}-4\cdot 3^x-45>0$$
Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
$$t^2-4t-45>0$$
$$D=16+180=196$$
$$t_{1,2}=\frac{4\pm 14}{2}$$
$$t_1=-5,\quad t_2=9$$
Так как $$t>0$$, то подходит только:
$$t>9$$
$$3^x>9=3^2$$
$$x>2$$
$$4^x+2^{x+3}-20<0$$
$$2^{2x}+8\cdot 2^x-20<0$$
Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$:
$$t^2+8t-20<0$$
$$D=64+80=144$$
$$t_{1,2}=\frac{-8\pm 12}{2}$$
$$t_1=-10,\quad t_2=2$$
При $$t>0$$ получаем:
$$0<t<2$$
$$2^x<2=2^1$$
$$x<1$$
$$49^x-8\cdot 7^x+7<0$$
$$7^{2x}-8\cdot 7^x+7<0$$
Положим $$t=7^x$$, тогда $$t>0$$:
$$t^2-8t+7<0$$
$$D=64-28=36$$
$$t_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=7$$
Тогда:
$$1<t<7$$
$$1<7^x<7^1$$
$$0<x<1$$
$$0{,}25^x-12\cdot 0{,}5^x+32>0$$
$$0{,}5^{2x}-12\cdot 0{,}5^x+32>0$$
Положим $$t=0{,}5^x$$, тогда $$t>0$$:
$$t^2-12t+32>0$$
$$D=144-128=16$$
$$t_{1,2}=\frac{12\pm 4}{2}$$
$$t_1=4,\quad t_2=8$$
Тогда:
$$t<4 \quad \text{или} \quad t>8$$
$$0{,}5^x<4=0{,}5^{-2} \quad \text{или} \quad 0{,}5^x>8=0{,}5^{-3}$$
Так как основание $$0{,}5<1$$, знак неравенства при переходе к показателю меняется:
$$x>-2 \quad \text{или} \quad x<-3$$
$$6^{2x-1}-\frac13\cdot 6^x-4<0$$
$$\frac16\cdot 6^{2x}-\frac13\cdot 6^x-4<0$$
Умножим на $$6$$:
$$6^{2x}-2\cdot 6^x-24<0$$
Положим $$t=6^x$$, тогда $$t>0$$:
$$t^2-2t-24<0$$
$$D=4+96=100$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 10}{2}$$
$$t_1=-4,\quad t_2=6$$
При $$t>0$$ получаем:
$$0<t<6$$
$$6^x<6=6^1$$
$$x<1$$
$$25^x+5^x-30>0$$
$$5^{2x}+5^x-30>0$$
Положим $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$:
$$t^2+t-30>0$$
$$D=1+120=121$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 11}{2}$$
$$t_1=-6,\quad t_2=5$$
Так как $$t>0$$, то:
$$t>5$$
$$5^x>5=5^1$$
$$x>1$$
Ответ
1) $$\left(2;+\infty\right)$$; 2) $$\left(-\infty;1\right)$$; 3) $$\left(0;1\right)$$; 4) $$\left(-\infty;-3\right)\cup\left[-2;+\infty\right)$$; 5) $$\left(-\infty;1\right)$$; 6) $$\left(1;+\infty\right)$$.
