Упр.3.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3^(x+2)-4·3^x < 45; 3) 5^x+5^(x-1)-5^(x-2) > 145;
2) (1/2)^(x-2)-(1/2)^x < 3; 4) (2/3)^x+(2/3)^(x-1) < 1 2/3.

1. $$3^{x+2}-4\cdot 3^x<45$$

   $$3^x\cdot 3^2-4\cdot 3^x<45$$

   $$3^x(9-4)<45$$

   $$5\cdot 3^x<45$$

   $$3^x<9=3^2$$

   Так как основание $$3>1$$, получаем:
   $$x<2.$$

2. $$\left(\frac12\right)^{x-2}-\left(\frac12\right)^x<3$$

   $$\left(\frac12\right)^x\cdot \left(\frac12\right)^{-2}-\left(\frac12\right)^x<3$$

   $$\left(\frac12\right)^x\cdot 4-\left(\frac12\right)^x<3$$

   $$\left(\frac12\right)^x(4-1)<3$$

   $$3\left(\frac12\right)^x<3$$

   $$\left(\frac12\right)^x<1=\left(\frac12\right)^0$$

   Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства меняется:
   $$x>0.$$

3. $$5^x+5^{x-1}-5^{x-2}>145$$

   $$5^x+5^x\cdot 5^{-1}-5^x\cdot 5^{-2}>145$$

   $$5^x\left(1+\frac15-\frac1{25}\right)>145$$

   $$5^x\cdot \frac{29}{25}>145$$

   $$5^x>145\cdot \frac{25}{29}=125=5^3$$

   Так как основание $$5>1$$, получаем:
   $$x>3.$$

4. $$\left(\frac23\right)^x+\left(\frac23\right)^{x-1}<1\frac23$$

   $$\left(\frac23\right)^x+\left(\frac23\right)^x\cdot \frac32<\frac53$$

   $$\left(\frac23\right)^x\left(1+\frac32\right)<\frac53$$

   $$\left(\frac23\right)^x\cdot \frac52<\frac53$$

   $$\left(\frac23\right)^x<\frac23$$

   $$\left(\frac23\right)^x<\left(\frac23\right)^1$$

   Так как основание $$\frac23<1$$, знак неравенства меняется:
   $$x>1.$$

Ответ

1) $$(-\infty;2)$$; 2) $$[0;+\infty)$$; 3) $$(3;+\infty)$$; 4) $$(1;+\infty)$$.