Упр.29.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 29.6. Случайная величина х имеет геометрическое распределение с параметром p=1/5. Найдите распределение вероятностей случайной величины y=(-1)^x.

Подробный ответ

Так как $$x$$ — геометрическая случайная величина с параметром $$p=\frac15,$$ то $$q=1-p=\frac45.$$

Случайная величина $$y=(-1)^x$$ принимает только два значения:

если $$x$$ нечётное, то $$y=-1$$; если $$x$$ чётное, то $$y=1.$$

Найдём вероятности этих значений.

$$
P(y=-1)=P(x=1)+P(x=3)+P(x=5)+\dots
$$
$$
= p+q^2p+q^4p+\dots = p(1+q^2+q^4+\dots)
$$
$$
= \frac{p}{1-q^2}
= \frac{\frac15}{1-\left(\frac45\right)^2}
= \frac{\frac15}{1-\frac{16}{25}}
= \frac{\frac15}{\frac{9}{25}}
= \frac59.
$$

Тогда

$$
P(y=1)=1-P(y=-1)=1-\frac59=\frac49.
$$