Упр.28.98 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (3x^2-10x+3)/(x^4-4x+3); 3) (a^4+9a^2+25)/(a^2+a+5);
2) (9x^3+3x^2+3x+1)/(3x^2-2x-1); 4) (x^71+x^70+…+x+1)/(x^23+x^22+…+x+1).

1. $$3x^2-10x+3=(3x-1)(x-3),$$
   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

   Тогда
   $$\frac{3x^2-10x+3}{x^2-4x+3}=\frac{(3x-1)(x-3)}{(x-1)(x-3)}=\frac{3x-1}{x-1}.$$

2. $$9x^3+3x^2+3x+1=(3x+1)(3x^2+1),$$
   $$3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1).$$

   Тогда
   $$\frac{9x^3+3x^2+3x+1}{3x^2-2x-1}=\frac{(3x+1)(3x^2+1)}{(3x+1)(x-1)}=\frac{3x^2+1}{x-1}.$$

3. $$a^4+9a^2+25=(a^2-a+5)(a^2+a+5).$$

   Тогда
   $$\frac{a^4+9a^2+25}{a^2+a+5}=\frac{(a^2-a+5)(a^2+a+5)}{a^2+a+5}=a^2-a+5.$$

4. Используем формулу суммы геометрической прогрессии:
   $$x^{71}+x^{70}+\dots+x+1=\frac{x^{72}-1}{x-1},$$
   $$x^{23}+x^{22}+\dots+x+1=\frac{x^{24}-1}{x-1}.$$

   Тогда
   $$\frac{x^{71}+x^{70}+\dots+x+1}{x^{23}+x^{22}+\dots+x+1}
   =\frac{x^{72}-1}{x^{24}-1}.$$

   Разложим разность степеней:
   $$x^{72}-1=(x^{24}-1)(x^{48}+x^{24}+1).$$

   Следовательно,
   $$\frac{x^{72}-1}{x^{24}-1}=x^{48}+x^{24}+1.$$

Ответ

1) $$\frac{3x-1}{x-1}$$;
2) $$\frac{3x^2+1}{x-1}$$;
3) $$a^2-a+5$$;
4) $$x^{48}+x^{24}+1$$.