Упр.28.93 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.93. Докажите, что не существует таких значений х и y, при которых многочлены 5x^2-8xy-3y^2 и -4x^2+8xy+5y^2 одновременно принимали бы отрицательные значения.

Предположим, что существуют такие значения $$x$$ и $$y$$, при которых оба многочлена отрицательны:

$$5x^2-8xy-3y^2<0,$$

$$-4x^2+8xy+5y^2<0.$$

Сложим эти неравенства:

$$\left(5x^2-8xy-3y^2\right)+\left(-4x^2+8xy+5y^2\right)<0.$$

Получаем

$$x^2+2y^2<0.$$

Но для любых действительных $$x$$ и $$y$$ выполняется

$$x^2+2y^2\ge 0,$$

что противоречит полученному неравенству. Значит, таких значений $$x$$ и $$y$$ не существует.

Ответ

Не существует таких значений $$x$$ и $$y$$, при которых оба многочлена одновременно были бы отрицательными.