Упр.28.404 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=x^3+1, y=0, x=0, x=2; 6) y=4/x^2, y=x-1, x=1;
2) y=2-x^2, y=0; 7) y=x^2-4x+5, y=5-x;
3) y=1/x, y=0, x=1, x=3; 8) y=8-x^2, y=4;
4) y=e^(-x), y=1, x=-2; 9) y=x^2, y=4x-x^2;
5) y=-x^2+4, x+y=4; 10) y=5/x, y=4x+1, x=2.

1. $$S=\int_0^2 (x^3+1)\,dx=\left(\frac{x^4}{4}+x\right)\Bigg|_0^2= \left(\frac{16}{4}+2\right)-0=6.$$

2. Точки пересечения с осью $$Ox$$:

   $$2-x^2=0,\quad x^2=2,\quad x=\pm\sqrt2.$$

   $$S=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(2-x^2)\,dx=\left(2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-\sqrt2}^{\sqrt2}=\frac{8\sqrt2}{3}.$$

3. $$S=\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|\Bigg|_1^3=\ln 3.$$

4. Точка пересечения:

   $$e^{-x}=1,\quad x=0.$$

   $$S=\int_{-2}^0 (e^{-x}-1)\,dx=\left(-e^{-x}-x\right)\Bigg|_{-2}^0=e^2-3.$$

5. Точки пересечения:

   $$-x^2+4=4-x,\quad x^2-x=0,\quad x(x-1)=0,$$

   $$x=0,\; x=1.$$

   $$S=\int_0^1 \bigl((-x^2+4)-(4-x)\bigr)\,dx=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1=\frac16.$$

6. Точка пересечения:

   $$\frac{4}{x^2}=x-1,\quad 4=x^3-x^2,\quad x^3-x^2-4=0,$$

   $$x=2.$$

   $$S=\int_1^2 \left(\frac{4}{x^2}-x+1\right)\,dx=\left(-\frac{4}{x}-\frac{x^2}{2}+x\right)\Bigg|_1^2=\frac32.$$

7. Точки пересечения:

   $$x^2-4x+5=5-x,\quad x^2-3x=0,\quad x(x-3)=0,$$

   $$x=0,\; x=3.$$

   $$S=\int_0^3 \bigl((5-x)-(x^2-4x+5)\bigr)\,dx=\int_0^3 (3x-x^2)\,dx=\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^3=\frac92.$$

8. Точки пересечения:

   $$8-x^2=4,\quad x^2=4,\quad x=\pm2.$$

   $$S=\int_{-2}^2 (8-x^2-4)\,dx=\int_{-2}^2 (4-x^2)\,dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^2=\frac{32}{3}.$$

9. Точки пересечения:

   $$x^2=4x-x^2,\quad 2x^2-4x=0,\quad 2x(x-2)=0,$$

   $$x=0,\; x=2.$$

   $$S=\int_0^2 \bigl((4x-x^2)-x^2\bigr)\,dx=\int_0^2 (4x-2x^2)\,dx=\left(2x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_0^2=\frac83.$$

10. Точки пересечения:

    $$\frac{5}{x}=4x+1,\quad 5=4x^2+x,\quad 4x^2+x-5=0,$$

    $$D=81,\quad x_1=-\frac54,\quad x_2=1.$$

    На отрезке от $$x=1$$ до $$x=2$$ сверху находится прямая $$y=4x+1$$.

    $$S=\int_1^2 \left(4x+1-\frac{5}{x}\right)\,dx=\left(2x^2+x-5\ln|x|\right)\Bigg|_1^2=7-5\ln 2.$$

Ответ

1) $$6$$; 2) $$\frac{8\sqrt2}{3}$$; 3) $$\ln 3$$; 4) $$e^2-3$$; 5) $$\frac16$$; 6) $$\frac32$$; 7) $$\frac92$$; 8) $$\frac{32}{3}$$; 9) $$\frac83$$; 10) $$7-5\ln 2$$.