Упр.28.399 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=x-2/x^5 на промежутке (-бесконечность; 0);
2) f(x)=3/x^4+1/(2vx) на промежутке (0; +бесконечность);
3) f(x)=2/cos^2(2x)+3/sin^2(3x) на промежутке (п/4; п/3);
4) f(x)=2+4/(x-1) на промежутке (-бесконечность; 1);
5) f(x)=e^(5x)-7e^(-4x) на промежутке (-бесконечность; +бесконечность);
6) f(x)=1/v(2x+1)-cos(x/4) на промежутке (-1/2; +бесконечность).

1. $$f(x)=x-\frac{2}{x^5}, \quad x\in(-\infty;0)$$

   $$F(x)=\int \left(x-\frac{2}{x^5}\right)\,dx=\int x\,dx-2\int x^{-5}\,dx$$

   $$F(x)=\frac{x^2}{2}-2\cdot \frac{x^{-4}}{-4}+C=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^4}+C$$

2. $$f(x)=\frac{3}{x^4}+\frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad x\in(0;+\infty)$$

   $$F(x)=\int \left(3x^{-4}+\frac{1}{2}x^{-1/2}\right)\,dx$$

   $$F(x)=3\cdot \frac{x^{-3}}{-3}+\frac{1}{2}\cdot 2x^{1/2}+C=-\frac{1}{x^3}+\sqrt{x}+C$$

3. $$f(x)=\frac{2}{\cos^2 2x}+\frac{3}{\sin^2 3x}, \quad x\in\left(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{3}\right)$$

   $$F(x)=\int \left(\frac{2}{\cos^2 2x}+\frac{3}{\sin^2 3x}\right)\,dx$$

   $$F(x)=2\cdot \frac{1}{2}\tg 2x+3\cdot \frac{1}{3}(-\ctg 3x)+C$$

   $$F(x)=\tg 2x-\ctg 3x+C$$

4. $$f(x)=2+\frac{4}{x-1}, \quad x\in(-\infty;1)$$

   $$F(x)=\int \left(2+\frac{4}{x-1}\right)\,dx=2x+4\ln|x-1|+C$$

   Так как $$x<1$$, то $$|x-1|=1-x$$. Поэтому

   $$F(x)=2x+4\ln(1-x)+C$$

5. $$f(x)=e^{5x}-7e^{-4x}, \quad x\in(-\infty;+\infty)$$

   $$F(x)=\int \left(e^{5x}-7e^{-4x}\right)\,dx$$

   $$F(x)=\frac{1}{5}e^{5x}-7\cdot \left(-\frac{1}{4}e^{-4x}\right)+C=\frac{1}{5}e^{5x}+\frac{7}{4}e^{-4x}+C$$

6. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}-\cos\frac{x}{4}, \quad x\in\left(-\frac{1}{2};+\infty\right)$$

   $$F(x)=\int \left(\frac{1}{\sqrt{2x+1}}-\cos\frac{x}{4}\right)\,dx$$

   $$F(x)=\sqrt{2x+1}-4\sin\frac{x}{4}+C$$

Ответ

1. $$F(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^4}+C$$
2. $$F(x)=-\frac{1}{x^3}+\sqrt{x}+C$$
3. $$F(x)=\tg 2x-\ctg 3x+C$$
4. $$F(x)=2x+4\ln(1-x)+C$$
5. $$F(x)=\frac{1}{5}e^{5x}+\frac{7}{4}e^{-4x}+C$$
6. $$F(x)=\sqrt{2x+1}-4\sin\frac{x}{4}+C$$