Упр.28.398 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=x^3-9x; 5) f(x)=4+x^2-(1/4)x^4;
2) f(x)=x^4-2x^2-3; 6) f(x)=x^2/(x^2-4);
3) f(x)=6x^2-2x^3; 7) f(x)=x^2+1/x^2;
4) f(x)=(x^2-2)^2; 8) f(x)=x^2/(x^2+2).
1) $$f(x)=x^3-9x$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$f'(x)=3x^2-9=3(x^2-3)=3(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$$
$$f'(x)=0 \iff x=\pm\sqrt3$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(\sqrt3;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\sqrt3;\sqrt3).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt3)$$ и $$ (\sqrt3;+\infty),$$ убывает на $$(-\sqrt3;\sqrt3).$$
$$f(-\sqrt3)=6\sqrt3,\qquad f(\sqrt3)=-6\sqrt3$$
Точки экстремума: максимум $$(-\sqrt3;6\sqrt3),$$ минимум $$ (\sqrt3;-6\sqrt3).$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x).$$
Нули функции:
$$x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)=0$$
$$x=-3,\;0,\;3$$
$$E(f)=(-\infty;+\infty)$$
2) $$f(x)=x^4-2x^2-3$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$
$$f'(x)=0 \iff x=-1,\,0,\,1$$
Знак производной:
$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;-1)\cup(0;1),$$
$$f'(x)>0 \text{ на } (-1;0)\cup(1;+\infty).$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$ (0;1),$$ возрастает на $$(-1;0)$$ и $$ (1;+\infty).$$
$$f(-1)=f(1)=-4,\qquad f(0)=-3$$
Точки экстремума: минимумы $$(-1;-4)$$ и $$ (1;-4),$$ максимум $$ (0;-3).$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
Нули функции:
$$x^4-2x^2-3=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-2t-3=0$$
$$ (t-3)(t+1)=0$$
$$t=3 \text{ или } t=-1$$
Так как $$t=x^2\ge 0,$$ получаем $$x^2=3,$$ значит
$$x=\pm\sqrt3$$
$$E(f)=[-4;+\infty)$$
3) $$f(x)=6x^2-2x^3$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$f'(x)=12x-6x^2=6x(2-x)$$
$$f'(x)=0 \iff x=0,\,2$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ на } (0;2),\qquad f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;0)\cup(2;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$ (0;2),$$ убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$ (2;+\infty).$$
$$f(0)=0,\qquad f(2)=8$$
Точки экстремума: минимум $$ (0;0),$$ максимум $$ (2;8).$$
Нули функции:
$$6x^2-2x^3=2x^2(3-x)=0$$
$$x=0,\;3$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$E(f)=(-\infty;+\infty)$$
4) $$f(x)=(x^2-2)^2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$f'(x)=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$$
$$f'(x)=0 \iff x=-\sqrt2,\,0,\,\sqrt2$$
Знак производной:
$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;-\sqrt2)\cup(0;\sqrt2),$$
$$f'(x)>0 \text{ на } (-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty).$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-\sqrt2)$$ и $$ (0;\sqrt2),$$ возрастает на $$(-\sqrt2;0)$$ и $$ (\sqrt2;+\infty).$$
$$f(-\sqrt2)=f(\sqrt2)=0,\qquad f(0)=4$$
Точки экстремума: минимумы $$(-\sqrt2;0)$$ и $$ (\sqrt2;0),$$ максимум $$ (0;4).$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
Нули функции:
$$ (x^2-2)^2=0 \iff x^2=2 \iff x=\pm\sqrt2$$
$$E(f)=[0;+\infty)$$
5) $$f(x)=4+x^2-\frac14x^4$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$f'(x)=2x-x^3=x(2-x^2)=x(\sqrt2-x)(\sqrt2+x)$$
$$f'(x)=0 \iff x=-\sqrt2,\,0,\,\sqrt2$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-\sqrt2)\cup(0;\sqrt2),$$
$$f'(x)<0 \text{ на } (-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt2)$$ и $$ (0;\sqrt2),$$ убывает на $$(-\sqrt2;0)$$ и $$ (\sqrt2;+\infty).$$
$$f(-\sqrt2)=f(\sqrt2)=5,\qquad f(0)=4$$
Точки экстремума: максимумы $$(-\sqrt2;5)$$ и $$ (\sqrt2;5),$$ минимум $$ (0;4).$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
Нули функции:
$$4+x^2-\frac14x^4=0$$
$$x^4-4x^2-16=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-4t-16=0$$
$$t=2\pm2\sqrt5$$
Подходит только $$t=2+2\sqrt5,$$ поэтому
$$x=\pm\sqrt{2+2\sqrt5}$$
$$E(f)=(-\infty;5]$$
6) $$f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-4}$$
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-x^2\cdot2x}{(x^2-4)^2}=\frac{-8x}{(x^2-4)^2}$$
Так как знаменатель положителен на области определения, то
$$f'(x)>0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2)$$ и $$(-2;0),$$ убывает на $$ (0;2)$$ и $$ (2;+\infty).$$
$$f(0)=0$$
Точка экстремума: максимум $$ (0;0).$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
Нули функции:
$$\frac{x^2}{x^2-4}=0 \iff x^2=0 \iff x=0$$
Предел при $$x\to\pm\infty$$:
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x^2-4}=1$$
Вертикальные асимптоты: $$x=\pm2.$$
$$E(f)=(-\infty;0]\cup(1;+\infty)$$
7) $$f(x)=x^2+\frac1{x^2}$$
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
$$f'(x)=2x-\frac{2}{x^3}=\frac{2(x^4-1)}{x^3}=\frac{2(x^2-1)(x^2+1)}{x^3}$$
$$f'(x)=0 \iff x=\pm1$$
Знак производной:
$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;-1)\cup(0;1),$$
$$f'(x)>0 \text{ на } (-1;0)\cup(1;+\infty).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$ (0;1),$$ возрастает на $$(-1;0)$$ и $$ (1;+\infty).$$
$$f(-1)=f(1)=2$$
Точки экстремума: минимумы $$(-1;2)$$ и $$ (1;2).$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
Нулей нет, так как $$x^2+\frac1{x^2}>0.$$
$$\lim_{x\to0}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty$$
$$E(f)=[2;+\infty)$$
8) $$f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+2}$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$f'(x)=\frac{2x(x^2+2)-x^2\cdot2x}{(x^2+2)^2}=\frac{4x}{(x^2+2)^2}$$
$$f'(x)=0 \iff x=0$$
Знак производной:
$$f'(x)<0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>0.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0),$$ возрастает на $$ (0;+\infty).$$
$$f(0)=0$$
Точка экстремума: минимум $$ (0;0).$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
Нули функции:
$$\frac{x^2}{x^2+2}=0 \iff x=0$$
Предел при $$x\to\pm\infty$$:
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x^2+2}=1$$
Горизонтальная асимптота: $$y=1.$$
$$E(f)=[0;1)$$
Ответ
Для всех восьми функций найдены область определения, промежутки монотонности, точки экстремума, чётность, нули, множество значений и основные элементы графика.
