Упр.28.397 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.397. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см?

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$. Тогда его диагональ равна диаметру окружности:

$$\sqrt{x^2+y^2}=50,$$

откуда

$$x^2+y^2=2500.$$

Выразим $$y$$:

$$y=\sqrt{2500-x^2}.$$

Площадь прямоугольника:

$$S(x)=xy=x\sqrt{2500-x^2}, \quad 0<x<50.$$

Найдём максимум функции. Рассмотрим квадрат площади:

$$S^2=x^2(2500-x^2)=2500x^2-x^4.$$

Для максимума достаточно максимизировать выражение $$2500x^2-x^4$$. Обозначим $$t=x^2$$, тогда

$$S^2=2500t-t^2.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит максимум достигается в вершине:

$$t=\frac{2500}{2}=1250.$$

Тогда

$$x^2=1250,\quad y^2=2500-1250=1250,$$

то есть

$$x=y=\sqrt{1250}.$$

Максимальная площадь:

$$S_{\max}=\sqrt{1250}\cdot \sqrt{1250}=1250.$$

Ответ

$$1250\ \text{см}^2$$