Упр.28.396 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.396. Найдите отрицательное число, разность которого с третью его куба принимает наименьшее значение.

Пусть $$x$$ — искомое отрицательное число, тогда $$x \in (-\infty;0).$$

Рассмотрим функцию

$$f(x)=x-\frac13x^3.$$

Найдём её производную:

$$f'(x)=1-\frac13\cdot 3x^2=1-x^2.$$

Для нахождения наименьшего значения исследуем знак производной:

$$f'(x)\ge 0$$

$$1-x^2\ge 0$$

$$x^2\le 1$$

$$-1\le x\le 1.$$

На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция возрастает при $$x\in[-1;0).$$ Значит, наименьшее значение на области отрицательных чисел достигается в левой границе этого промежутка, то есть при $$x=-1.$$

Проверим:

$$f(-1)=-1-\frac13(-1)^3=-1+\frac13=-\frac23.$$

Следовательно, искомое число равно $$-1.$$

Ответ

$$-1$$