Упр.28.395 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.395. Представьте число 20 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

Подробный ответ

Пусть $$x$$ и $$y$$ — искомые неотрицательные числа. Тогда

$$x+y=20,\quad y=20-x,\quad x\ge 0,\ y\ge 0.$$

Рассмотрим сумму кубов:

$$f(x)=x^3+y^3=x^3+(20-x)^3.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ функция принимает наименьшее значение:

$$f'(x)=3x^2-3(20-x)^2.$$

Так как

$$f'(x)=3\bigl(x^2-(20-x)^2\bigr)=3(2x-20)(2x),$$

то на отрезке $$0\le x\le 20$$ функция убывает при $$0\le x\le 10$$ и возрастает при $$10\le x\le 20$$. Значит, минимум достигается при

$$x=10.$$

Тогда