Упр.28.393 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=x^3-3x^2-9x-4 на промежутке [-2; 0];
2) f(x)=(x-1)/(x+1) на промежутке [0; 4];
3) f(x)=sin(4x-п/3) на промежутке [0; п/6];
4) f(x)=cos(x)-sin(x) на промежутке [0; 2п];
5) f(x)=v(8x-x^2) на её области определения;
6) f(x)=2x/(x^2+1) на промежутке [-2; 1/2].

Подробный ответ

$$f(x)=x^3-3x^2-9x-4,\quad x\in[-2;0]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3)$$
Критические точки на отрезке: $$x=-1$$.
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(-2)=-8-12+18-4=-6$$
$$f(-1)=-1-3+9-4=1$$
$$f(0)=0-0-0-4=-4$$
Наибольшее значение: $$1$$, наименьшее значение: $$-6$$.
$$f(x)=\frac{x-1}{x+1},\quad x\in[0;4]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}>0$$
Функция возрастает на отрезке $$[0;4]$$, значит:
$$f(0)=\frac{-1}{1}=-1,\qquad f(4)=\frac{3}{5}$$
Наименьшее значение: $$-1$$, наибольшее значение: $$\frac35$$.
$$f(x)=\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right),\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{6}\right]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)$$
Критические точки:
$$\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0$$
$$4x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{6}\right]$$ подходит только $$x=\frac{5\pi}{24}$$? Нет, эта точка не принадлежит отрезку, значит достаточно проверить концы отрезка:
$$f(0)=\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}$$
$$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$$
Наименьшее значение: $$-\frac{\sqrt3}{2}$$, наибольшее значение: $$\frac{\sqrt3}{2}$$.
$$f(x)=\cos x-\sin x,\quad x\in[0;2\pi]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\sin x-\cos x$$
Критические точки:
$$-\sin x-\cos x=0$$
$$\tan x=-1$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$
На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем точки $$x=\frac{3\pi}{4}$$ и $$x=\frac{7\pi}{4}$$.
Вычислим значения функции:
$$f(0)=1$$
$$f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\frac{3\pi}{4}-\sin\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=-\sqrt2$$
$$f\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\cos\frac{7\pi}{4}-\sin\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2$$
$$f(2\pi)=1$$
Наименьшее значение: $$-\sqrt2$$, наибольшее значение: $$\sqrt2$$.
$$f(x)=\sqrt{8x-x^2}$$
Область определения:
$$8x-x^2\ge 0$$
$$x(8-x)\ge 0$$
$$x\in[0;8]$$
Так как подкоренное выражение можно преобразовать:
$$8x-x^2=16-(x-4)^2$$
то наибольшее значение достигается при $$x=4$$:
$$f(4)=\sqrt{16}=4$$
На концах области определения:
$$f(0)=0,\qquad f(8)=0$$
Наименьшее значение: $$0$$, наибольшее значение: $$4$$.
$$f(x)=\frac{2x}{x^2+1},\quad x\in\left[-2;\frac12\right]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$$
Критические точки:
$$1-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 1$$
На отрезке $$\left[-2;\frac12\right]$$ лежит только $$x=-1$$.
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(-2)=\frac{-4}{5}$$
$$f(-1)=\frac{-2}{2}=-1$$
$$f\left(\frac12\right)=\frac{1}{\frac14+1}=\frac45$$
Наименьшее значение: $$-1$$, наибольшее значение: $$\frac45$$.