Упр.28.391 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=-8x^3-x^2+2x; 7) f(x)=x^3/(x^3+8);
2) f(x)=x^3+2x-10; 8) f(x)=(1-x)e^(-x);
3) f(x)=x^5-5x^4+2; 9) f(x)=x/e-e^x;
4) f(x)=x/4+4/x; 10) f(x)=x^2-8ln x;
5) f(x)=x^2+1/x^2; 11) f(x)=vx(ln x-4);
6) f(x)=(5-2x)/(x^2-4); 12) f(x)=(ln x+2)/vx.

1. $$f(x)=-8x^3-x^2+2x$$

   $$f'(x)=-24x^2-2x+2=-2(12x^2+x-1)=-2(3x-1)(4x+1)$$

   $$f'(x)=0 \iff x=-\frac13,\ \frac14$$

   Знак производной:

   $$f'(x)>0 \text{ на } \left(-\frac13;\frac14\right), \qquad f'(x)<0 \text{ на } \left(-\infty;-\frac13\right)\cup\left(\frac14;+\infty\right)$$

   Следовательно, функция возрастает на $$\left[-\frac13;\frac14\right]$$, убывает на $$\left(-\infty;-\frac13\right)\cup\left(\frac14;+\infty\right)$$.

   $$x_{\min}=-\frac13,\qquad x_{\max}=\frac14$$

2. $$f(x)=x^3+2x-10$$

   $$f'(x)=3x^2+2>0 \text{ при всех } x\in\mathbb R$$

   Функция возрастает на всей области определения.

3. $$f(x)=x^5-5x^4+2$$

   $$f'(x)=5x^4-20x^3=5x^3(x-4)$$

   $$f'(x)=0 \iff x=0,\ 4$$

   $$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;0)\cup(4;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ на } (0;4)$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[4;+\infty)$$, убывает на $$[0;4]$$.

   $$x_{\max}=0,\qquad x_{\min}=4$$

4. $$f(x)=\frac{x}{4}+\frac{4}{x}$$

   $$f'(x)=\frac14-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-16}{4x^2}=\frac{(x-4)(x+4)}{4x^2}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$.

   $$f'(x)=0 \iff x=-4,\ 4$$

   $$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-4)\cup(4;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ на } (-4;0)\cup(0;4)$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty)$$, убывает на $$[-4;0)\cup(0;4]$$.

   $$x_{\max}=-4,\qquad x_{\min}=4$$

5. $$f(x)=x^2+\frac{1}{x^2}$$

   $$f'(x)=2x-\frac{2}{x^3}=\frac{2x^4-2}{x^3}=\frac{2(x^2-1)(x^2+1)}{x^3}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$.

   $$f'(x)=0 \iff x=-1,\ 1$$

   $$f'(x)>0 \text{ на } [-1;0)\cup[1;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;-1]\cup(0;1]$$

   Функция возрастает на $$[-1;0)\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup(0;1]$$.

   $$x_{\min}=-1,\qquad x_{\min}=1$$

6. $$f(x)=\frac{5-2x}{x^2-4}$$

   $$f'(x)=\frac{-2(x^2-4)-(5-2x)\cdot 2x}{(x^2-4)^2}=\frac{-2x^2+8-10x+4x^2}{(x^2-4)^2}=\frac{2(x-1)(x-4)}{(x^2-4)^2}$$

   Область определения: $$x\ne \pm 2$$.

   $$f'(x)=0 \iff x=1,\ 4$$

   Так как знаменатель всегда положителен, знак производной определяется числителем:

   $$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-2)\cup(-2;1)\cup(4;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ на } (1;2)\cup(2;4)$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;1]\cup[4;+\infty)$$, убывает на $$[1;2)\cup(2;4]$$.

   $$x_{\max}=1,\qquad x_{\min}=4$$

7. $$f(x)=\frac{x^3}{x^3+8}$$

   $$f'(x)=\frac{3x^2(x^3+8)-x^3\cdot 3x^2}{(x^3+8)^2}=\frac{24x^2}{(x^3+8)^2}$$

   Область определения: $$x\ne -2$$.

   $$f'(x)\ge 0 \text{ при } x\ne -2$$, причём $$f'(x)=0$$ только при $$x=0$$.

   Функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$.

8. $$f(x)=(1-x)e^{-x}$$

   $$f'(x)=-e^{-x}+(1-x)(-e^{-x})=e^{-x}(x-2)$$

   Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x$$, то

   $$f'(x)\ge 0 \iff x\ge 2$$

   Функция возрастает на $$[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;2]$$.

   $$x_{\min}=2$$

9. $$f(x)=\frac{x}{e}-e^x$$

   $$f'(x)=\frac1e-e^x$$

   $$f'(x)\ge 0 \iff e^x\le \frac1e \iff x\le -1$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$, убывает на $$[-1;+\infty)$$.

   $$x_{\max}=-1$$

10. $$f(x)=x^2-8\ln x$$

    Область определения: $$x>0$$.

    $$f'(x)=2x-\frac{8}{x}=\frac{2x^2-8}{x}=\frac{2(x-2)(x+2)}{x}$$

    При $$x>0$$ знак производной определяется выражением $$x-2$$:

    $$f'(x)<0 \text{ на } (0;2), \qquad f'(x)>0 \text{ на } (2;+\infty)$$

    Функция убывает на $$ (0;2] $$, возрастает на $$[2;+\infty)$$.

    $$x_{\min}=2$$

11. $$f(x)=\sqrt{x}(\ln x-4)$$

    Область определения: $$x>0$$.

    $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x-4)+\sqrt{x}\cdot\frac1x=\frac{\ln x-4+2}{2\sqrt{x}}=\frac{\ln x-2}{2\sqrt{x}}$$

    Так как $$2\sqrt{x}>0$$ при $$x>0$$, то

    $$f'(x)\ge 0 \iff \ln x\ge 2 \iff x\ge e^2$$

    Функция убывает на $$(0;e^2]$$, возрастает на $$[e^2;+\infty)$$.

    $$x_{\min}=e^2$$

12. $$f(x)=\frac{\ln x+2}{\sqrt{x}}$$

    Область определения: $$x>0$$.

    $$f'(x)=\frac{\frac1x\cdot \sqrt{x}-(\ln x+2)\cdot \frac1{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2}=\frac{2-\ln x-2}{2x\sqrt{x}}=-\frac{\ln x}{2x\sqrt{x}}$$

    Так как $$2x\sqrt{x}>0$$ при $$x>0$$, то

    $$f'(x)\ge 0 \iff \ln x\le 0 \iff 0<x\le 1$$

    Функция возрастает на $$(0;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$.

    $$x_{\max}=1$$

Ответ

1. Возрастает на $$\left[-\frac13;\frac14\right]$$, убывает на $$\left(-\infty;-\frac13\right)\cup\left(\frac14;+\infty\right)$$; $$x_{\min}=-\frac13$$, $$x_{\max}=\frac14$$.
2. Возрастает на $$\mathbb R$$; точек экстремума нет.
3. Возрастает на $$(-\infty;0]\cup[4;+\infty)$$, убывает на $$[0;4]$$; $$x_{\max}=0$$, $$x_{\min}=4$$.
4. Возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty)$$, убывает на $$[-4;0)\cup(0;4]$$; $$x_{\max}=-4$$, $$x_{\min}=4$$.
5. Возрастает на $$[-1;0)\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup(0;1]$$; $$x_{\min}=-1$$ и $$x_{\min}=1$$.
6. Возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;1]\cup[4;+\infty)$$, убывает на $$[1;2)\cup(2;4]$$; $$x_{\max}=1$$, $$x_{\min}=4$$.
7. Возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$; точек экстремума нет.
8. Возрастает на $$[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;2]$$; $$x_{\min}=2$$.
9. Возрастает на $$(-\infty;-1]$$, убывает на $$[-1;+\infty)$$; $$x_{\max}=-1$$.
10. Убывает на $$(0;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty)$$; $$x_{\min}=2$$.
11. Убывает на $$(0;e^2]$$, возрастает на $$[e^2;+\infty)$$; $$x_{\min}=e^2$$.
12. Возрастает на $$(0;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$; $$x_{\max}=1$$.