Упр.28.390 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.390. Для всех xєD(f) выполняется неравенство f(x) > f(x_0). 1) Верно ли утверждение, что x_0 — точка минимума функции f? 2) Изменится ли ответ, если D(f)=R?

Подробный ответ

1) Неравенство $$f(x) \ge f(x_0)$$ для всех $$x \in D(f)$$ означает, что значение функции в точке $$x_0$$ не больше значений функции во всех точках области определения. Однако это не обязательно делает $$x_0$$ точкой минимума, так как $$x_0$$ может быть граничной точкой области определения.

Например, для функции $$y=\sqrt{x}$$ при $$x_0=0$$ имеем $$f(x)\ge f(0)$$ для всех $$x\in D(f)$$, но точка $$x_0=0$$ является крайней точкой области определения.

Следовательно, утверждение неверно.

2) Если $$D(f)=\mathbb{R}$$, то крайних точек у области определения нет. Тогда из условия $$f(x)\ge f(x_0)$$ для всех $$x\in \mathbb{R}$$ следует, что в точке $$x_0$$ функция принимает наименьшее значение, то есть $$x_0$$ — точка минимума.