Упр.28.389 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.389. Докажите, что функция f(x)=cos(3x)+4x возрастает на R.

Найдём производную функции:

$$f(x)=\cos 3x+4x$$

$$f'(x)=-3\sin 3x+4$$

Так как для любого $x$ выполняется неравенство

$$-1 \le \sin 3x \le 1,$$

то

$$-3 \le -3\sin 3x \le 3.$$

Прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$$1 \le -3\sin 3x+4 \le 7.$$

Следовательно,

$$f'(x)\ge 1>0$$

для всех $x \in \mathbb{R}$.

Значит, функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой.

Ответ

Функция $f(x)=\cos 3x+4x$ возрастает на $\mathbb{R}$.