Упр.28.383 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.383. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции f(x)=v(3x^2-8), которая параллельна прямой y=3x+5.

Найдём производную функции $$f(x)=\sqrt{3x^2-8}.$$

$$f'(x)=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2-8}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-8}}.$$

Так как касательная параллельна прямой $$y=3x+5,$$ её угловой коэффициент равен $$3.$$ Тогда

$$\frac{3x}{\sqrt{3x^2-8}}=3.$$

Сократим на $$3$$:

$$\frac{x}{\sqrt{3x^2-8}}=1,$$

откуда

$$x=\sqrt{3x^2-8}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=3x^2-8,$$

$$2x^2=8,$$

$$x^2=4,$$

$$x=2$$

так как $$\sqrt{3x^2-8}\ge 0.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f(2)=\sqrt{3\cdot 2^2-8}=\sqrt{12-8}=2.$$

Уравнение касательной:

$$y-2=3(x-2),$$

$$y=3x-4.$$

Найдём отрезки, которые эта прямая отсекает на осях координат:

при $$x=0$$ получаем $$y=-4,$$ значит $$b=4;$$

при $$y=0$$ имеем

$$3x-4=0,$$

$$x=\frac{4}{3},$$

значит $$a=\frac{4}{3}.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12 ab=\frac12\cdot \frac{4}{3}\cdot 4=\frac{8}{3}.$$

Ответ

$$\frac{8}{3}$$