Упр.28.380 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.380. Найдите координаты точек пересечения с осями координат касательных к графику функции f(x)=(x+4)/(x-5), угловой коэффициент которых равен -1.

Найдём производную функции $$f(x)=\frac{x+4}{x-5}$$:

$$
f'(x)=\frac{(x-5)\cdot 1-(x+4)\cdot 1}{(x-5)^2}
=\frac{x-5-x-4}{(x-5)^2}
=\frac{-9}{(x-5)^2}.
$$

По условию угловой коэффициент касательной равен $$-1$$, значит

$$
\frac{-9}{(x-5)^2}=-1.
$$

Тогда

$$
(x-5)^2=9,
$$

откуда

$$
x-5=\pm 3,\qquad x_1=2,\; x_2=8.
$$

Найдём точки касания:

$$
f(2)=\frac{2+4}{2-5}=\frac{6}{-3}=-2,
$$

значит точка касания $$A(2,-2)$$. Уравнение касательной:

$$
y+2=-1(x-2),
$$

$$
y=-x.
$$

Её пересечения с осями координат:

$$
x=0 \Rightarrow y=0,\qquad y=0 \Rightarrow x=0.
$$

Получаем точку $$ (0,0) $$.

Для второй касательной:

$$
f(8)=\frac{8+4}{8-5}=\frac{12}{3}=4,
$$

значит точка касания $$B(8,4)$$. Уравнение касательной:

$$
y-4=-1(x-8),
$$

$$
y=12-x.
$$

Её пересечения с осями координат:

$$
x=0 \Rightarrow y=12,
$$

$$
y=0 \Rightarrow x=12.
$$

Получаем точки $$ (0,12) $$ и $$ (12,0) $$.

Ответ

$$ (0,0),\ (0,12),\ (12,0). $$