Упр.28.374 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=3x^2/(1-x), x_0=-1;
2) f(x)=v(5x^2-2x), x_0=2;
3) f(x)=(x^2-2x+3)cos(x), x_0=0;
4) f(x)=(1+sin(x))/(4-sin(x)), x_0=0;
5) f(x)=cos(2x)-sin(п/3), x_0=п/2;
6) f(x)=ln x/x, x_0=1;
7) f(x)=e^(2x-1), x_0=1/2.
$$f(x)=\frac{3x^2}{1-x}, \quad x_0=-1.$$
По формуле производной частного:
$$f'(x)=\frac{(3x^2)'(1-x)-3x^2(1-x)’}{(1-x)^2}=\frac{6x(1-x)+3x^2}{(1-x)^2}.$$
Подставим $$x=-1$$:
$$f'(-1)=\frac{6\cdot(-1)\cdot(1-(-1))+3\cdot(-1)^2}{(1-(-1))^2}=\frac{-12+3}{4}=-\frac{9}{4}.$$
$$f(x)=\sqrt{5x^2-2x}, \quad x_0=2.$$
По правилу производной корня:
$$f'(x)=\frac{(5x^2-2x)’}{2\sqrt{5x^2-2x}}=\frac{10x-2}{2\sqrt{5x^2-2x}}.$$
Подставим $$x=2$$:
$$f'(2)=\frac{20-2}{2\sqrt{20-4}}=\frac{18}{2\sqrt{16}}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}.$$
$$f(x)=(x^2-2x+3)\cos x, \quad x_0=0.$$
По правилу производной произведения:
$$f'(x)=(2x-2)\cos x-(x^2-2x+3)\sin x.$$
Подставим $$x=0$$:
$$f'(0)=(0-2)\cdot 1-(0-0+3)\cdot 0=-2.$$
$$f(x)=\frac{1+\sin x}{4-\sin x}, \quad x_0=0.$$
По формуле производной частного:
$$f'(x)=\frac{\cos x(4-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(4-\sin x)^2}.$$
Подставим $$x=0$$:
$$f'(0)=\frac{1\cdot(4-0)-(1+0)\cdot(-1)}{(4-0)^2}=\frac{4+1}{16}=\frac{5}{16}.$$
$$f(x)=\cos 2x-\sin\frac{\pi}{3}, \quad x_0=\frac{\pi}{2}.$$
Так как $$\sin\frac{\pi}{3}$$ — постоянная, то
$$f'(x)=-2\sin 2x.$$
Подставим $$x=\frac{\pi}{2}$$:
$$f’\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2\sin\pi=0.$$
$$f(x)=\frac{\ln x}{x}, \quad x_0=1.$$
По формуле производной частного:
$$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$
Подставим $$x=1$$:
$$f'(1)=\frac{1-\ln 1}{1^2}=1.$$
$$f(x)=e^{2x-1}, \quad x_0=\frac{1}{2}.$$
По правилу производной сложной функции:
$$f'(x)=2e^{2x-1}.$$
Подставим $$x=\frac{1}{2}$$:
$$f’\left(\frac{1}{2}\right)=2e^{2\cdot\frac{1}{2}-1}=2e^0=2.$$
Ответ
$$-\frac{9}{4};\ \frac{9}{4};\ -2;\ \frac{5}{16};\ 0;\ 1;\ 2.$$
