Упр.28.372 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) lg^2 x-lg x > 0; 4) (log_(1/3) (-x))^2-log_(1/3) (-x) < 2;
2) ln^2 x+ln x < 0; 5) (lg^2 x-3lg x+3)/(lg x-1) > 1;
3) 3(log_8 x)^2+2log_8 x-5 > 0; 6) ((log_6 x)^2+2log_6 x-6)/log_6 x < 1.
$$\lg^2 x-\lg x>0$$
Положим $$t=\lg x$$. Тогда
$$t^2-t>0$$
$$t(t-1)>0$$
Отсюда $$t<0$$ или $$t>1$$, то есть
$$0<x<1 \quad \text{или} \quad x>10.$$
$$\ln^2 x+\ln x<0$$
Положим $$t=\ln x$$. Тогда
$$t^2+t<0$$
$$t(t+1)<0$$
$$-1<t<0$$, значит
$$\frac{1}{e}<x<1.$$
$$3(\log_8 x)^2+2\log_8 x-5>0$$
Положим $$t=\log_8 x$$. Тогда
$$3t^2+2t-5>0$$
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-5)=64$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{6}$$
$$t_1=-\frac{5}{3}, \quad t_2=1.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$t<-\frac{5}{3} \quad \text{или} \quad t>1.$$
Следовательно,
$$0<x<8^{-\frac{5}{3}}=\frac{1}{32} \quad \text{или} \quad x>8.$$
$$\left(\log_{\frac13}(-x)\right)^2-\log_{\frac13}(-x)<2$$
Положим $$t=\log_{\frac13}(-x)$$. Тогда
$$t^2-t-2<0$$
$$ (t+1)(t-2)<0 $$
$$-1<t<2.$$
Так как основание $$\frac13<1$$, получаем
$$-1<\log_{\frac13}(-x)<2$$
$$\frac13<-x<9$$
$$-9<x<-\frac13.$$
С учётом области определения $$x<0$$ получаем
$$-9<x<-\frac13.$$
$$\frac{\lg^2 x-3\lg x+3}{\lg x-1}>1$$
Перенесём $$1$$ в левую часть:
$$\frac{\lg^2 x-3\lg x+3-(\lg x-1)}{\lg x-1}>0$$
$$\frac{\lg^2 x-4\lg x+4}{\lg x-1}>0$$
$$\frac{(\lg x-2)^2}{\lg x-1}>0.$$
Числитель неотрицателен и равен нулю при $$\lg x=2$$. Для выполнения неравенства нужно, чтобы знаменатель был положительным, а числитель — положительным:
$$\lg x-1>0,\quad \lg x\ne 2.$$
Отсюда
$$x>10,\quad x\ne 100.$$
$$\frac{(\log_6 x)^2+2\log_6 x-6}{\log_6 x}<1$$
Перенесём $$1$$ в левую часть:
$$\frac{(\log_6 x)^2+2\log_6 x-6-\log_6 x}{\log_6 x}<0$$
$$\frac{(\log_6 x)^2+\log_6 x-6}{\log_6 x}<0$$
Положим $$t=\log_6 x$$. Тогда
$$\frac{t^2+t-6}{t}<0$$
$$\frac{(t+3)(t-2)}{t}<0.$$
Критические точки: $$t=-3,\; t=0,\; t=2.$$
По знакам получаем
$$t<-3 \quad \text{или} \quad 0<t<2.$$
Возвращаясь к $$x$$, имеем
$$0<x<6^{-3}=\frac{1}{216} \quad \text{или} \quad 1<x<36.$$
Ответ
1) $$\left(0;1\right)\cup(10;+\infty)$$; 2) $$\left(\frac1e;1\right)$$; 3) $$\left(0;\frac1{32}\right)\cup(8;+\infty)$$; 4) $$(-9;-\frac13)$$; 5) $$\left(10;100\right)\cup(100;+\infty)$$; 6) $$\left(0;\frac1{216}\right)\cup(1;36).$$
