Упр.28.371 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) log_2 x+log_2 (x+1) < 1;
2) log_(1/6) x+log_(1/6) (x-1) > log_(1/6) (x+3);
3) log_3 (4-x)+log_3 (x+3) < 1+log_3 (x-1);
4) log_(1/2) (x+2)+log_(1/2) (x+3) > log_(1/2) 3-1.
$$\log_2 x+\log_2(x+1)<1$$
$$\log_2\bigl(x(x+1)\bigr)<\log_2 2$$
Так как основание $$2>1$$, получаем:
$$x(x+1)<2$$
$$x^2+x-2<0$$
$$ (x+2)(x-1)<0 $$
Отсюда:
$$-2<x<1$$
Область определения:
$$x>0,\quad x+1>0$$
$$x>0$$
Пересечение с ОДЗ:
$$0<x<1$$
$$\log_{\frac16}x+\log_{\frac16}(x-1)>\log_{\frac16}(x+3)$$
$$\log_{\frac16}\bigl(x(x-1)\bigr)>\log_{\frac16}(x+3)$$
Так как основание $$\frac16<1$$, знак неравенства меняется:
$$x(x-1)<x+3$$
$$x^2-2x-3<0$$
$$ (x+1)(x-3)<0 $$
Отсюда:
$$-1<x<3$$
Область определения:
$$x>0,\quad x-1>0,\quad x+3>0$$
$$x>1$$
Пересечение с ОДЗ:
$$1<x<3$$
$$\log_3(4-x)+\log_3(x+3)<1+\log_3(x-1)$$
$$\log_3\bigl((4-x)(x+3)\bigr)<\log_3\bigl(3(x-1)\bigr)$$
Так как основание $$3>1$$, получаем:
$$ (4-x)(x+3)<3(x-1) $$
$$ 12+x- x^2<3x-3 $$
$$ x^2+2x-15>0 $$
$$ (x+5)(x-3)>0 $$
Отсюда:
$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>3$$
Область определения:
$$4-x>0,\quad x+3>0,\quad x-1>0$$
$$x<4,\quad x>-3,\quad x>1$$
$$x>1,\quad x<4$$
Пересечение с ОДЗ:
$$3<x<4$$
$$\log_{\frac12}(x+2)+\log_{\frac12}(x+3)>\log_{\frac12}3-1$$
$$\log_{\frac12}\bigl((x+2)(x+3)\bigr)>\log_{\frac12}3-\log_{\frac12}2$$
$$\log_{\frac12}\bigl((x+2)(x+3)\bigr)>\log_{\frac12}\left(\frac32\right)$$
Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства меняется:
$$ (x+2)(x+3)<\frac32 $$
$$ 2x^2+10x+12<3 $$
$$ 2x^2+10x+9<0 $$
Найдём корни:
$$D=10^2-4\cdot2\cdot9=28$$
$$x_{1,2}=\frac{-10\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{-5\pm\sqrt7}{2}$$
Следовательно,
$$\frac{-5-\sqrt7}{2}<x<\frac{-5+\sqrt7}{2}$$
Область определения:
$$x+2>0,\quad x+3>0$$
$$x>-2$$
Пересечение с ОДЗ:
$$-2<x<\frac{-5+\sqrt7}{2}$$
Ответ
1) $$\left(0;1\right)$$; 2) $$\left(1;3\right)$$; 3) $$\left(3;4\right)$$; 4) $$\left(-2;\frac{-5+\sqrt7}{2}\right)$$.
