Упр.28.370 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=vlog_0,7 ((x+1)/(x-5));
2) f(x)=log_3 log_0,3 ((x-2)/(x+3)).

Подробный ответ

$$f(x)=\sqrt{\log_{0,7}\frac{x+1}{x-5}}$$
Для существования корня нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$\log_{0,7}\frac{x+1}{x-5}\ge 0.$$
Так как основание $$0,7<1,$$ то логарифм неотрицателен, когда его аргумент не превосходит 1:
$$\frac{x+1}{x-5}\le 1,\qquad x\ne 5.$$
Решим неравенство:
$$
\frac{x+1}{x-5}-1\le 0
$$
$$
\frac{x+1-(x-5)}{x-5}\le 0
$$
$$
\frac{6}{x-5}\le 0.
$$
Числитель положителен, значит дробь не превосходит нуля при
$$x<5.$$
Проверим условие существования логарифма: $$\frac{x+1}{x-5}>0.$$
Это выполняется при $$x<-1$$ или $$x>5.$$
Пересечение с условием $$x<5$$ даёт:
$$x<-1.$$
$$f(x)=\log_3\log_{0,3}\frac{x-2}{x+3}$$
Для существования внешнего логарифма нужно:
$$\log_{0,3}\frac{x-2}{x+3}>0.$$
Так как $$0,3<1,$$ то это равносильно неравенству
$$0<\frac{x-2}{x+3}<1,\qquad x\ne -3.$$
Решим сначала
$$\frac{x-2}{x+3}<1.$$
$$
\frac{x-2-(x+3)}{x+3}<0
$$
$$
\frac{-5}{x+3}<0,
$$
откуда $$x>-3.$$
Теперь учтём условие
$$\frac{x-2}{x+3}>0.$$
При $$x>-3$$ это возможно только при $$x>2.$$
Следовательно, область определения:
$$x>2.$$