Упр.28.369 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) log_6 (x+1) < log_6 (2x+5); 5) log_0,4 (x^2+1) > log_0,4 (2x+25);
2) log_2 (2x-3) > log_2 (3x-5); 6) log_(1/9) (1-x^2) > log_(1/9) (2x+2);
3) ln (x^2-3) > ln (3x-7); 7) 2log_3 x-log_3 (2x+9) < 1;
4) log_0,7 (3x-1) < log_0,7 (3-x); 8) lg ((x+3)/(x+4)) > lg ((x+5)/(x+2)).
$$\log_6(x+1)<\log_6(2x+5)$$
Так как $$6>1,$$ то
$$x+1<2x+5,$$
$$x>-4.$$
Область определения:
$$x+1>0,\quad 2x+5>0,$$
$$x>-1,\quad x>-\frac52.$$
Следовательно, $$x>-1.$$
Ответ: $$(-1;+\infty).$$
$$\log_2(2x-3)>\log_2(3x-5)$$
Так как $$2>1,$$ то
$$2x-3>3x-5,$$
$$x<2.$$
Область определения:
$$2x-3>0,\quad 3x-5>0,$$
$$x>\frac32,\quad x>\frac53.$$
Следовательно, $$x>\frac53.$$
Итак, $$\frac53<x<2.$$
Ответ: $$\left(\frac53;2\right).$$
$$\ln(x^2-3)>\ln(3x-7)$$
Так как функция $$\ln x$$ возрастает, то
$$x^2-3>3x-7,$$
$$x^2-3x+4>0.$$
Дискриминант:
$$D=9-16=-7<0.$$
Так как старший коэффициент положителен, то $$x^2-3x+4>0$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$
Область определения:
$$x^2-3>0,\quad 3x-7>0,$$
$$x<-\sqrt3 \ \text{или}\ x>\sqrt3,\quad x>\frac73.$$
С учётом ОДЗ получаем:
$$x>\frac73.$$
Ответ: $$\left(\frac73;+\infty\right).$$
$$\log_{0,7}(3x-1)<\log_{0,7}(3-x)$$
Так как $$0<0,7<1,$$ знак неравенства меняется:
$$3x-1>3-x,$$
$$4x>4,$$
$$x>1.$$
Область определения:
$$3x-1>0,\quad 3-x>0,$$
$$x>\frac13,\quad x<3.$$
Следовательно, $$1<x<3.$$
Ответ: $$\left(1;3\right).$$
$$\log_{0,4}(x^2+1)>\log_{0,4}(2x+25)$$
Так как $$0<0,4<1,$$ знак неравенства меняется:
$$x^2+1<2x+25,$$
$$x^2-2x-24<0,$$
$$ (x-6)(x+4)<0.$$
Отсюда
$$-4<x<6.$$
Область определения:
$$x^2+1>0,\quad 2x+25>0.$$
Первое неравенство верно при всех $$x,$$ второе даёт $$x>-\frac{25}{2},$$ что не влияет на найденный промежуток.
Ответ: $$(-4;6).$$
$$\log_{\frac19}(1-x^2)>\log_{\frac19}(2x+2)$$
Так как $$0<\frac19<1,$$ знак неравенства меняется:
$$1-x^2<2x+2,$$
$$x^2+2x+1>0,$$
$$ (x+1)^2>0.$$
Это верно при всех $$x,$$ кроме $$x=-1.$$
Область определения:
$$1-x^2>0,\quad 2x+2>0,$$
$$-1<x<1,\quad x>-1.$$
Следовательно, $$-1<x<1.$$
Ответ: $$(-1;1).$$
$$2\log_3 x-\log_3(2x+9)<1$$
Перепишем:
$$\log_3 x^2-\log_3(2x+9)<\log_3 3,$$
$$\log_3\frac{x^2}{2x+9}<\log_3 3.$$
Так как $$3>1,$$ то
$$\frac{x^2}{2x+9}<3,$$
$$x^2<6x+27,$$
$$x^2-6x-27<0,$$
$$ (x-9)(x+3)<0.$$
Отсюда
$$-3<x<9.$$
Область определения:
$$x>0,\quad 2x+9>0.$$
Следовательно, $$x>0.$$
Итак, $$0<x<9.$$
Ответ: $$\left(0;9\right].$$
$$\lg\frac{x+3}{x+4}>\lg\frac{x+5}{x+2}$$
Так как $$10>1,$$ то
$$\frac{x+3}{x+4}>\frac{x+5}{x+2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x+3)(x+2)-(x+5)(x+4)}{(x+4)(x+2)}>0,$$
$$\frac{x^2+5x+6-(x^2+9x+20)}{(x+4)(x+2)}>0,$$
$$\frac{-4x-14}{(x+4)(x+2)}>0,$$
$$\frac{2x+7}{(x+4)(x+2)}<0.$$
Область определения:
$$x\ne-4,\quad x\ne-2,$$
а также
$$\frac{x+3}{x+4}>0,\quad \frac{x+5}{x+2}>0.$$
Из совокупности условий получаем:
$$x<-\frac72 \quad \text{или} \quad x>-2.$$
С учётом знака дроби решение:
$$x<-5.$$
Ответ: $$(-\infty;-5).$$
Ответ
1) $$(-1;+\infty)$$; 2) $$\left(\frac53;2\right)$$; 3) $$\left(\frac73;+\infty\right)$$; 4) $$\left(1;3\right)$$; 5) $$(-4;6)$$; 6) $$(-1;1)$$; 7) $$\left(0;9\right]$$; 8) $$(-\infty;-5).$$
