Упр.28.368 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) log_7 (2x-1) < 2; 6) log_5 (x^2+2x-3) < 1;
2) log_(1/2) (2x-3) > 1; 7) log_0,6 (x^2+4x+4) > 0;
3) log_4 (x+1) < -1/2; 8) log_3 ((2x+1)/(x+1)) > 1;
4) lg (x^2+x+8) > 1; 9) log_(1/6) ((x+2)/x^2) < 0.
5) log_0,2 (x^2+4x) > -1;
$$\log_7(2x-1)<2$$
Так как $$7>1$$, получаем:
$$2x-1<7^2=49$$
$$2x<50,\quad x<25$$
Область определения:
$$2x-1>0,\quad x>\frac12$$
Пересечение условий:
$$x\in\left(\frac12;25\right)$$
$$\log_{\frac12}(2x-3)>1$$
Так как $$0<\frac12<1$$, знак неравенства меняется:
$$2x-3<\frac12$$
$$2x<\frac72,\quad x<\frac74$$
Область определения:
$$2x-3>0,\quad x>\frac32$$
Пересечение условий:
$$x\in\left(\frac32;\frac74\right)$$
$$\log_4(x+1)<-\frac12$$
Так как $$4>1$$, имеем:
$$x+1<4^{-1/2}=\frac12$$
$$x<-\frac12$$
Область определения:
$$x+1>0,\quad x>-1$$
Ответ:
$$x\in\left(-1;-\frac12\right)$$
$$\lg(x^2+x+8)>1$$
Так как $$10^1=10$$, получаем:
$$x^2+x+8>10$$
$$x^2+x-2>0$$
$$ (x+2)(x-1)>0 $$
Отсюда:
$$x<-2,\quad x>1$$
Ответ:
$$x\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)$$
$$\log_{0,2}(x^2+4x)\ge -1$$
Так как $$0<0,2<1$$, знак неравенства меняется:
$$x^2+4x\le 0,2^{-1}=5$$
$$x^2+4x-5\le 0$$
$$ (x+5)(x-1)\le 0 $$
$$-5\le x\le 1$$
Область определения:
$$x^2+4x>0$$
$$x(x+4)>0,\quad x<-4 \text{ или } x>0$$
Пересечение условий:
$$x\in[-5;-4)\cup(0;1]$$
$$\log_5(x^2+2x-3)\le 1$$
Так как $$5>1$$, имеем:
$$x^2+2x-3\le 5$$
$$x^2+2x-8\le 0$$
$$ (x+4)(x-2)\le 0 $$
$$-4\le x\le 2$$
Область определения:
$$x^2+2x-3>0$$
$$ (x+3)(x-1)>0,\quad x<-3 \text{ или } x>1$$
Пересечение условий:
$$x\in[-4;-3)\cup(1;2]$$
$$\log_{0,6}(x^2+4x+4)>0$$
Так как $$0<0,6<1$$, знак неравенства меняется:
$$x^2+4x+4<1$$
$$x^2+4x+3<0$$
$$ (x+3)(x+1)<0 $$
$$-3<x<-1$$
Область определения:
$$x^2+4x+4>0,\quad (x+2)^2>0,\quad x\ne -2$$
Пересечение условий:
$$x\in(-3;-2)\cup(-2;-1)$$
$$\log_3\frac{2x+1}{x+1}\ge 1$$
Так как $$3>1$$, получаем:
$$\frac{2x+1}{x+1}\ge 3$$
$$\frac{2x+1-3(x+1)}{x+1}\ge 0$$
$$\frac{-x-2}{x+1}\ge 0$$
$$\frac{x+2}{x+1}\le 0$$
Отсюда:
$$x\in[-2;-1)$$
$$\log_{\frac16}\frac{x+2}{x^2}<0$$
Так как $$0<\frac16<1$$, знак неравенства меняется:
$$\frac{x+2}{x^2}>1$$
$$x+2>x^2$$
$$x^2-x-2<0$$
$$ (x+1)(x-2)<0 $$
$$-1<x<2$$
Область определения:
$$x^2\ne 0,\quad x\ne 0$$
Итак,
$$x\in(-1;0)\cup(0;2)$$
Ответ
1) $$\left(\frac12;25\right)$$; 2) $$\left(\frac32;\frac74\right)$$; 3) $$\left(-1;-\frac12\right)$$; 4) $$(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)$$; 5) $$[-5;-4)\cup(0;1]$$; 6) $$[-4;-3)\cup(1;2]$$; 7) $$(-3;-2)\cup(-2;-1)$$; 8) $$[-2;-1)$$; 9) $$(-1;0)\cup(0;2)$$.
