Упр.28.367 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^(log_5 x-2)=125; 3) x^(2log_7 x)=7x;
2) x^lg x=100x; 4) x^log_6 x=36/x.

1. $$x^{\log_5 x-2}=125$$
   
   Так как $$125=5^3$$, получаем:
   $$\log_5\left(x^{\log_5 x-2}\right)=\log_5 125$$
   $$\log_5 x\cdot(\log_5 x-2)=3$$
   $$\log_5^2 x-2\log_5 x-3=0$$
   Обозначим $$t=\log_5 x$$. Тогда:
   $$t^2-2t-3=0$$
   $$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0$$
   $$t=3 \text{ или } t=-1$$
   Значит,
   $$\log_5 x=3 \Rightarrow x=125,$$
   $$\log_5 x=-1 \Rightarrow x=\frac15.$$
2. $$x^{\lg x}=100x$$
   
   Перепишем правую часть как $$100=10^2$$:
   $$x^{\lg x-1}=100$$
   $$\lg\left(x^{\lg x-1}\right)=\lg 100$$
   $$\lg x\cdot(\lg x-1)=2$$
   $$\lg^2 x-\lg x-2=0$$
   Обозначим $$t=\lg x$$. Тогда:
   $$t^2-t-2=0$$
   $$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0$$
   $$t=2 \text{ или } t=-1$$
   Следовательно,
   $$\lg x=2 \Rightarrow x=100,$$
   $$\lg x=-1 \Rightarrow x=0{,}1.$$
3. $$x^{2\log_7 x}=7x$$
   
   Так как $$7=7^1$$, получаем:
   $$x^{2\log_7 x-1}=7$$
   $$\log_7\left(x^{2\log_7 x-1}\right)=\log_7 7$$
   $$\log_7 x\cdot(2\log_7 x-1)=1$$
   $$2\log_7^2 x-\log_7 x-1=0$$
   Обозначим $$t=\log_7 x$$. Тогда:
   $$2t^2-t-1=0$$
   $$\left(2t+1\right)\left(t-1\right)=0$$
   $$t=-\frac12 \text{ или } t=1$$
   Значит,
   $$\log_7 x=-\frac12 \Rightarrow x=7^{-1/2}=\frac1{\sqrt7},$$
   $$\log_7 x=1 \Rightarrow x=7.$$
4. $$x^{\log_6 x}=\frac{36}{x}$$
   
   Так как $$36=6^2$$, имеем:
   $$x^{\log_6 x+1}=36$$
   $$\log_6\left(x^{\log_6 x+1}\right)=\log_6 36$$
   $$\log_6 x\cdot(\log_6 x+1)=2$$
   $$\log_6^2 x+\log_6 x-2=0$$
   Обозначим $$t=\log_6 x$$. Тогда:
   $$t^2+t-2=0$$
   $$\left(t+2\right)\left(t-1\right)=0$$
   $$t=-2 \text{ или } t=1$$
   Следовательно,
   $$\log_6 x=-2 \Rightarrow x=6^{-2}=\frac1{36},$$
   $$\log_6 x=1 \Rightarrow x=6.$$

Ответ

1) $$\frac15,\ 125$$; 2) $$0{,}1,\ 100$$; 3) $$\frac1{\sqrt7},\ 7$$; 4) $$\frac1{36},\ 6$$.