Упр.28.366 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 3(log_3 x)^2+7log_3 x-6=0; 5) log_3 x^2·log_3 (x/9)=6;
2) ln^2 x-4ln x-21=0; 6) (log_5 x^3)^2-5log_5 x^2+1=0;
3) 2/(lg x+2)-1/(lg x-4)=1; 7) log_7 (7/x)+(log_7 x)^3=1;
4) lg^2 x+2lg x-20=5^log_5 lg x; 8) log_9 x+log_x 9=2,5.
$$3(\log_3 x)^2+7\log_3 x-6=0$$
Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда
$$3t^2+7t-6=0$$
$$D=7^2-4\cdot 3\cdot(-6)=49+72=121$$
$$t_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{2\cdot 3}$$
$$t_1=-3,\quad t_2=\frac23$$
Тогда
$$x_1=3^{-3}=\frac1{27},\quad x_2=3^{2/3}=\sqrt[3]{9}$$
$$\ln^2 x-4\ln x-21=0$$
Пусть $$t=\ln x$$. Тогда
$$t^2-4t-21=0$$
$$D=4^2+4\cdot 21=16+84=100$$
$$t_{1,2}=\frac{4\pm 10}{2}$$
$$t_1=-3,\quad t_2=7$$
Следовательно,
$$x_1=e^{-3}=\frac1{e^3},\quad x_2=e^7$$
$$\frac{2}{\lg x+2}-\frac{1}{\lg x-4}=1$$
ОДЗ: $$\lg x\ne -2,\ \lg x\ne 4$$.
Умножим на $$ (\lg x+2)(\lg x-4) $$:
$$
2(\lg x-4)-(\lg x+2)=(\lg x+2)(\lg x-4)
$$$$
2\lg x-8-\lg x-2=\lg^2 x-2\lg x+4\lg x-8
$$$$
\lg^2 x-3\lg x+2=0
$$Пусть $$t=\lg x$$. Тогда
$$t^2-3t+2=0$$
$$D=3^2-4\cdot 2=1$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=2$$
Значит,
$$x_1=10^1=10,\quad x_2=10^2=100$$
$$\lg^2 x+2\lg x-20=5^{\log_5 \lg x}$$
Так как $$5^{\log_5 \lg x}=\lg x$$, получаем
$$\lg^2 x+2\lg x-20=\lg x$$
$$\lg^2 x+\lg x-20=0$$
Пусть $$t=\lg x$$. Тогда
$$t^2+t-20=0$$
$$D=1^2+4\cdot 20=81$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}$$
$$t_1=-5,\quad t_2=4$$
Следовательно,
$$x_1=10^{-5},\quad x_2=10^4=10000$$
Но из области определения $$\lg x>0$$, значит $$x>1$$. Подходит только $$x=10000$$.
$$\log_3 x^2\cdot \log_3 \frac{x}{9}=6$$
Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда
$$\log_3 x^2=2\log_3 x=2t,\qquad \log_3 \frac{x}{9}=t-2$$
Получаем
$$2t(t-2)=6$$
$$2t^2-4t-6=0$$
$$t^2-2t-3=0$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$t_1=-1,\quad t_2=3$$
Тогда
$$x_1=3^{-1}=\frac13,\quad x_2=3^3=27$$
$$\left(\log_5 x^3\right)^2-5\log_5 x^2+1=0$$
Пусть $$t=\log_5 x$$. Тогда
$$\log_5 x^3=3t,\qquad \log_5 x^2=2t$$
Получаем
$$9t^2-10t+1=0$$
$$D=10^2-4\cdot 9\cdot 1=100-36=64$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2\cdot 9}$$
$$t_1=\frac19,\quad t_2=1$$
Следовательно,
$$x_1=5^{1/9}=\sqrt[9]{5},\quad x_2=5$$
$$\log_7 \frac{7}{x}+(\log_7 x)^3=1$$
Пусть $$t=\log_7 x$$. Тогда
$$\log_7 \frac{7}{x}=1-\log_7 x=1-t$$
Получаем
$$1-t+t^3=1$$
$$t^3-t=0$$
$$t(t^2-1)=0$$
$$t(t-1)(t+1)=0$$
$$t_1=-1,\quad t_2=0,\quad t_3=1$$
Тогда
$$x_1=7^{-1}=\frac17,\quad x_2=7^0=1,\quad x_3=7^1=7$$
$$\log_9 x+\log_x 9=2{,}5$$
Пусть $$t=\log_9 x$$. Тогда $$\log_x 9=\frac{1}{t}$$, и
$$t+\frac1t=\frac52$$
Умножим на $$2t$$:
$$2t^2-5t+2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2\cdot 2}$$
$$t_1=\frac12,\quad t_2=2$$
Следовательно,
$$x_1=9^{1/2}=3,\quad x_2=9^2=81$$
Ответ
1) $$\frac1{27},\ \sqrt[3]{9}$$; 2) $$\frac1{e^3},\ e^7$$; 3) $$10,\ 100$$; 4) $$10000$$; 5) $$\frac13,\ 27$$; 6) $$\sqrt[9]{5},\ 5$$; 7) $$\frac17,\ 1,\ 7$$; 8) $$3,\ 81$$.
