Упр.28.365 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) lg (2x-1)+lg (x+5)=lg 13;
2) log_3 (2x-7)+log_3 (x-1)=2+log_3 2;
3) log_0,5 (4-x)+log_0,5 (x-1)=-1;
4) log_7 (-x)+log_7 (1-x)=log_7 (x+3).

1. $$\lg(2x-1)+\lg(x+5)=\lg 13$$
   $$\lg\bigl((2x-1)(x+5)\bigr)=\lg 13$$
   $$ (2x-1)(x+5)=13 $$
   $$2x^2+10x-x-5=13$$
   $$2x^2+9x-18=0$$
   $$D=9^2-4\cdot 2\cdot(-18)=81+144=225$$
   $$x=\frac{-9\pm 15}{4}$$
   $$x_1=-6,\quad x_2=\frac{3}{2}$$
   Область определения:
   $$2x-1>0,\quad x+5>0$$
   $$x>\frac12$$
   Подходит только $$x=\frac32$$.

2. $$\log_3(2x-7)+\log_3(x-1)=2+\log_3 2$$
   $$\log_3\bigl((2x-7)(x-1)\bigr)=\log_3 9+\log_3 2$$
   $$\log_3\bigl((2x-7)(x-1)\bigr)=\log_3 18$$
   $$ (2x-7)(x-1)=18 $$
   $$2x^2-2x-7x+7=18$$
   $$2x^2-9x-11=0$$
   $$D=9^2-4\cdot 2\cdot(-11)=81+88=169$$
   $$x=\frac{9\pm 13}{4}$$
   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{11}{2}$$
   Область определения:
   $$2x-7>0,\quad x-1>0$$
   $$x>\frac72$$
   Подходит только $$x=\frac{11}{2}$$.

3. $$\log_{0,5}(4-x)+\log_{0,5}(x-1)=-1$$
   $$\log_{0,5}\bigl((4-x)(x-1)\bigr)=-1$$
   $$\log_{0,5}\bigl((4-x)(x-1)\bigr)=\log_{0,5} 2$$
   $$ (4-x)(x-1)=2 $$
   $$4x-4-x^2+x=2$$
   $$x^2-5x+6=0$$
   $$ (x-2)(x-3)=0 $$
   $$x_1=2,\quad x_2=3$$
   Область определения:
   $$4-x>0,\quad x-1>0$$
   $$1<x<4$$
   Оба корня подходят.

4. $$\log_7(-x)+\log_7(1-x)=\log_7(x+3)$$
   $$\log_7\bigl((-x)(1-x)\bigr)=\log_7(x+3)$$
   $$-x+x^2=x+3$$
   $$x^2-2x-3=0$$
   $$ (x-3)(x+1)=0 $$
   $$x_1=3,\quad x_2=-1$$
   Область определения:
   $$-x>0,\quad 1-x>0,\quad x+3>0$$
   $$x<0,\quad x<1,\quad x>-3$$
   $$-3<x<0$$
   Подходит только $$x=-1$$.

Ответ

1) $$\frac32$$; 2) $$\frac{11}{2}$$; 3) $$2,\,3$$; 4) $$-1$$.