Упр.28.364 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) lg (5x+2)=(1/2)lg 36+lg 2;
2) log_5 (250-x^3)=3log_5 x;
3) log_9 (4x-6)=log_9 (2x-4);
4) (1/2)lg (3x^2+25)=lg (3x-5);
5) lg (2x+1)=0,5lg (1-3x);
6) log_6 (x^2-x-2)=log_6 (2x^2+x-1);
7) 2log_7 (-x)=log_7 (x+6);
8) ln (x^2-2x-8)=2ln v(-4x).

Подробный ответ

$$\lg(5x+2)=\frac12\lg 36+\lg 2$$
$$\frac12\lg 36=\lg 6$$
$$\lg(5x+2)=\lg 6+\lg 2=\lg 12$$
$$5x+2=12$$
$$5x=10$$
$$x=2$$
$$\log_5(250-x^3)=3\log_5 x$$
$$3\log_5 x=\log_5 x^3$$
$$\log_5(250-x^3)=\log_5 x^3$$
$$250-x^3=x^3$$
$$2x^3=250$$
$$x^3=125$$
$$x=5$$
$$\log_9(4x-6)=\log_9(2x-4)$$
$$4x-6=2x-4$$
$$2x=2$$
$$x=1$$
Проверим ОДЗ:
$$4x-6>0,\quad 2x-4>0$$
$$x>\frac32,\quad x>2$$
При $$x=1$$ условия не выполняются, значит корней нет.
$$\frac12\lg(3x^2+25)=\lg(3x-5)$$
$$\lg(3x^2+25)=2\lg(3x-5)$$
$$\lg(3x^2+25)=\lg(3x-5)^2$$
$$3x^2+25=(3x-5)^2$$
$$3x^2+25=9x^2-30x+25$$
$$6x^2-30x=0$$
$$6x(x-5)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=5$$
Проверим ОДЗ:
$$3x-5>0 \Rightarrow x>\frac53$$
Подходит только $$x=5$$.
$$\lg(2x+1)=0{,}5\lg(1-3x)$$
$$2\lg(2x+1)=\lg(1-3x)$$
$$\lg(2x+1)^2=\lg(1-3x)$$
$$4x^2+4x+1=1-3x$$
$$4x^2+7x=0$$
$$x(4x+7)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-\frac74$$
Проверим ОДЗ:
$$2x+1>0,\quad 1-3x>0$$
$$x>-\frac12,\quad x<\frac13$$ Подходит только $$x=0$$.
$$\log_6(x^2-x-2)=\log_6(2x^2+x-1)$$
$$x^2-x-2=2x^2+x-1$$
$$x^2+2x+1=0$$
$$(x+1)^2=0$$
$$x=-1$$
Проверим ОДЗ:
$$x^2-x-2>0,\quad 2x^2+x-1>0$$
При $$x=-1$$ оба выражения равны нулю, значит корень не подходит.
Корней нет.
$$2\log_7(-x)=\log_7(x+6)$$
$$\log_7(-x)^2=\log_7(x+6)$$
$$x^2=x+6$$
$$x^2-x-6=0$$
$$(x+2)(x-3)=0$$
$$x=-2 \text{ или } x=3$$
Проверим ОДЗ:
$$-x>0,\quad x+6>0$$
$$x<0,\quad x>-6$$
Подходит только $$x=-2$$.
$$\ln(x^2-2x-8)=2\ln\sqrt{-4x}$$
$$2\ln\sqrt{-4x}=\ln(-4x)$$
$$\ln(x^2-2x-8)=\ln(-4x)$$
$$x^2-2x-8=-4x$$
$$x^2+2x-8=0$$
$$(x+4)(x-2)=0$$
$$x=-4 \text{ или } x=2$$
Проверим ОДЗ:
$$-4x>0 \Rightarrow x<0$$ Подходит только $$x=-4$$.