Упр.28.359 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) y=ln ((x+1)/(4-5x)); 4) y=(x-2)/log_2 (x^2-8);
2) y=log_6 (4^x-3·2^x+2); 5) y=lg (5x-x^2)+1/lg (2-x);
3) y=lg lg x; 6) y=log_(x-2) (x^2+x-3).
$$y=\ln \frac{x+1}{4-5x}$$
Для существования логарифма нужно:
$$\frac{x+1}{4-5x}>0.$$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=\frac45.$$
Знак дроби положителен между этими точками, значит
$$x\in\left(-1;\frac45\right).$$
$$y=\log_6(4^x-3\cdot 2^x+2)$$
Нужно, чтобы
$$4^x-3\cdot 2^x+2>0.$$
Положим $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$t^2-3t+2>0,$$
$$ (t-1)(t-2)>0.$$
Отсюда
$$t<1 \quad \text{или} \quad t>2.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем
$$x<0 \quad \text{или} \quad x>1.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$
$$y=\lg(\lg x)$$
Для существования внешнего логарифма нужно
$$\lg x>0.$$
Тогда
$$x>1.$$
Следовательно,
$$x\in(1;+\infty).$$
$$y=\frac{x-2}{\log_2(x^2-8)}$$
Нужно, чтобы:
$$x^2-8>0,$$
$$\log_2(x^2-8)\ne 0.$$
Из первого условия:
$$x< -2\sqrt2 \quad \text{или} \quad x>2\sqrt2.$$
Из второго условия:
$$x^2-8\ne 1,$$
то есть
$$x^2\ne 9,\quad x\ne \pm 3.$$
С учётом всех ограничений:
$$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;3)\cup(3;+\infty).$$
$$y=\lg(5x-x^2)+\frac{1}{\lg(2-x)}$$
Нужно:
$$5x-x^2>0,$$
$$\lg(2-x)\ne 0.$$
Первое неравенство даёт
$$x(5-x)>0,$$
то есть
$$0
Для второго условия:
$$2-x>0,\quad 2-x\ne 1.$$
Отсюда
$$x<2,\quad x\ne 1.$$
Пересечение условий:
$$x\in(0;1)\cup(1;2).$$
$$y=\log_{x-2}(x^2+x-3)$$
Для логарифма нужно:
$$x^2+x-3>0,$$
$$x-2>0,$$
$$x-2\ne 1.$$
Решим неравенство:
$$x^2+x-3>0.$$
Корни уравнения $$x^2+x-3=0$$:
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x<\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\quad \text{или} \quad x>\frac{-1+\sqrt{13}}{2}.$$
С учётом условий $$x>2$$ и $$x\ne 3$$ получаем
$$x\in(2;3)\cup(3;+\infty).$$
Ответ
1) $$\left(-1;\frac45\right)$$; 2) $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$; 3) $$ (1;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;-3)\cup(-3;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;3)\cup(3;+\infty)$$; 5) $$ (0;1)\cup(1;2)$$; 6) $$ (2;3)\cup(3;+\infty)$$.
