Упр.28.358 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) lg 20+lg 50; 5) (lg 27+lg 12)/(lg 2+2lg 3);
2) log_3 7-log_3 (7/27); 6) log_в€љ2 12-log_2 9;
3) 5^(-2log_25 (1/4)+log_5 2); 7) log_4 log_14 196+log_5 в€љ5;
4) 3lg 5+(1/2)lg 64; 8) 36^(log_6 7)+10^(2-lg 4)-7^(log_49 25).

1. $$\lg 20+\lg 50=\lg(20\cdot 50)=\lg 1000=3.$$
2. $$\log_3 7-\log_3 \frac{7}{27}=\log_3 \frac{7}{7/27}=\log_3 27=3.$$
3. $$5^{-2\log_{25}\frac14+\log_5 2}.$$
   Так как $$25=5^2,$$ то
   $$\log_{25}\frac14=\frac12\log_5\frac14=\frac12\log_5 2^{-2}=-\log_5 2.$$
   Тогда
   $$-2\log_{25}\frac14+\log_5 2=2\log_5 2+\log_5 2=3\log_5 2,$$
   и
   $$5^{3\log_5 2}=\left(5^{\log_5 2}\right)^3=2^3=8.$$
4. $$3\lg 5+\frac12\lg 64=\lg 5^3+\lg 64^{1/2}=\lg 125+\lg 8=\lg 1000=3.$$
5. $$\frac{\lg 27+\lg 12}{\lg 2+2\lg 3}
   =\frac{\lg(27\cdot 12)}{\lg(2\cdot 3^2)}
   =\frac{\lg 324}{\lg 18}
   =\log_{18}324=2,$$
   так как $$18^2=324.$$
6. $$\log_{\sqrt2}12-\log_2 9.$$
   Переходим к основанию $$2$$:
   $$\log_{\sqrt2}12=\log_{2^{1/2}}12=2\log_2 12.$$
   Тогда
   $$2\log_2 12-\log_2 9=\log_2 12^2-\log_2 9=\log_2\frac{144}{9}=\log_2 16=4.$$
7. $$\log_4\log_{14}196+\log_5\sqrt5.$$
   Так как $$\log_{14}196=2,$$ то
   $$\log_4\log_{14}196=\log_4 2=\frac12,$$
   а
   $$\log_5\sqrt5=\log_5 5^{1/2}=\frac12.$$
   Следовательно,
   $$\frac12+\frac12=1.$$
8. $$36^{\log_6 7}+10^{2-\lg 4}-7^{\log_{49}25}.$$
   Имеем
   $$36^{\log_6 7}=(6^2)^{\log_6 7}=6^{2\log_6 7}=\left(6^{\log_6 7}\right)^2=7^2=49,$$
   $$10^{2-\lg 4}=10^2\cdot 10^{-\lg 4}=100\cdot \frac1{10^{\lg 4}}=100\cdot \frac14=25,$$
   $$\log_{49}25=\log_{7^2}5^2=\log_7 5,$$
   поэтому
   $$7^{\log_{49}25}=7^{\log_7 5}=5.$$
   Тогда
   $$49+25-5=69.$$

Ответ

1) $$3$$; 2) $$3$$; 3) $$8$$; 4) $$3$$; 5) $$2$$; 6) $$4$$; 7) $$1$$; 8) $$69$$.