Упр.28.357 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 25^x-2·5^x-15 > 0; 4) (1/9)^x-6·(1/3)^x-27 < 0;
2) 4^(x+1)-9·2^x+2 < 0; 5) (1/4)^x-2^(1-x)-8 > 0;
3) 3^(x+2)-28·3^(0,5x)+3 > 0; 6) 7^x+7^(2-x)-50 > 0.
$$25^x-2\cdot 5^x-15>0$$
Положим $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и $$25^x=(5^x)^2=t^2$$. Получаем:
$$t^2-2t-15>0$$
$$\left(t-5\right)\left(t+3\right)>0$$
Так как $$t>0$$, то подходит только $$t>5$$. Значит,
$$5^x>5 \Rightarrow x>1.$$
$$4^{x+1}-9\cdot 2^x+2<0$$
$$4\cdot 4^x-9\cdot 2^x+2<0$$
Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$4^x=t^2$$. Получаем:
$$4t^2-9t+2<0$$
$$D=81-32=49$$
$$t_{1,2}=\frac{9\pm 7}{8}$$
$$t_1=\frac14,\quad t_2=2$$
$$\left(4t-1\right)\left(t-2\right)<0$$
Отсюда
$$\frac14<2^x<2$$
$$-2<x<1.$$
$$3^{x+2}-28\cdot 3^{0{,}5x}+3>0$$
$$9\cdot 3^x-28\cdot 3^{0{,}5x}+3>0$$
Положим $$t=3^{0{,}5x}$$, тогда $$t>0$$ и $$3^x=t^2$$. Получаем:
$$9t^2-28t+3>0$$
$$D=784-108=676$$
$$t_{1,2}=\frac{28\pm 26}{18}$$
$$t_1=\frac19,\quad t_2=3$$
$$\left(9t-1\right)\left(t-3\right)>0$$
Отсюда
$$t<\frac19 \quad \text{или} \quad t>3$$
$$3^{0{,}5x}<3^{-2} \quad \text{или} \quad 3^{0{,}5x}>3^1$$
$$0{,}5x<-2 \quad \text{или} \quad 0{,}5x>1$$
$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>2.$$
$$\left(\frac19\right)^x-6\left(\frac13\right)^x-27<0$$
$$3^{-2x}-6\cdot 3^{-x}-27<0$$
Положим $$t=3^{-x}$$, тогда $$t>0$$ и $$3^{-2x}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-6t-27<0$$
$$D=36+108=144$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 12}{2}$$
$$t_1=-3,\quad t_2=9$$
Так как $$t>0$$, то
$$0<t<9$$
$$3^{-x}<9=3^2$$
$$-x<2$$
$$x>-2.$$
$$\left(\frac14\right)^x-2^{1-x}-8>0$$
$$2^{-2x}-2\cdot 2^{-x}-8>0$$
Положим $$t=2^{-x}$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{-2x}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-2t-8>0$$
$$\left(t-4\right)\left(t+2\right)>0$$
Так как $$t>0$$, то $$t>4$$. Значит,
$$2^{-x}>4=2^2$$
$$-x>2$$
$$x<-2.$$
$$7^x+7^{2-x}-50>0$$
Положим $$t=7^x$$, тогда $$t>0$$ и $$7^{2-x}=\dfrac{49}{t}$$. Умножим неравенство на $$t>0$$:
$$t^2-50t+49>0$$
$$D=2500-196=2304$$
$$t_{1,2}=\frac{50\pm 48}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=49$$
$$\left(t-1\right)\left(t-49\right)>0$$
Отсюда
$$t<1 \quad \text{или} \quad t>49$$
$$7^x<1 \quad \text{или} \quad 7^x>49=7^2$$
$$x<0 \quad \text{или} \quad x>2.$$
Ответ
1) $$\left(1;+\infty\right)$$; 2) $$\left(-2;1\right)$$; 3) $$\left(-\infty;-4\right)\cup\left(2;+\infty\right)$$; 4) $$\left(-2;+\infty\right)$$; 5) $$\left(-\infty;-2\right)$$; 6) $$\left(-\infty;0\right)\cup\left(2;+\infty\right)$$.
