Упр.28.354 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3^x-5·6^(x/2)-50·2^x=0; 3) 5^(2x+1)-3·10^x=2^(2x+1);
2) 3^(2x+4)+45·6^x-9·2^(2x+2)=0; 4) 7·4^x^2-9·14^x^2+2·49^x^2=0.

1. $$3^x-5\cdot 6^{x/2}-50\cdot 2^x=0.$$
   Представим $$6^{x/2}$$ как $$\left(3\cdot 2\right)^{x/2}=\left(3^{x/2}\right)\left(2^{x/2}\right)$$ и разделим уравнение на $$2^x$$:
   $$\left(\frac{3}{2}\right)^x-5\left(\frac{3}{2}\right)^{x/2}-50=0.$$
   Обозначим $$t=\left(\frac{3}{2}\right)^{x/2}$$, тогда $$t^2=\left(\frac{3}{2}\right)^x$$. Получаем:
   $$t^2-5t-50=0.$$
   $$D=25+200=225,$$
   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 15}{2}.$$
   Тогда $$t_1=-5$$, $$t_2=10$$. Так как $$t=\left(\frac{3}{2}\right)^{x/2}>0$$, подходит только $$t=10$$:
   $$\left(\frac{3}{2}\right)^{x/2}=10.$$
   Отсюда
   $$x=2\log_{3/2}10.$$

2. $$3^{2x+4}+45\cdot 6^x-9\cdot 2^{2x+2}=0.$$
   Преобразуем:
   $$81\cdot 3^{2x}+45\cdot 6^x-36\cdot 2^{2x}=0.$$
   Разделим на $$2^{2x}$$:
   $$81\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}+45\left(\frac{3}{2}\right)^x-36=0.$$
   Обозначим $$t=\left(\frac{3}{2}\right)^x$$. Тогда
   $$81t^2+45t-36=0,$$
   $$9t^2+5t-4=0.$$
   $$D=25+144=169,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-5\pm 13}{18}.$$
   Получаем $$t_1=-1$$, $$t_2=\frac49$$. Так как $$t>0$$, подходит только
   $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac49=\left(\frac{2}{3}\right)^2.$$
   Значит,
   $$x=-2.$$

3. $$5^{2x+1}-3\cdot 10^x=2^{2x+1}.$$
   Перепишем:
   $$5\cdot 5^{2x}-3\cdot 10^x-2\cdot 2^{2x}=0.$$
   Разделим на $$2^{2x}$$:
   $$5\left(\frac{5}{2}\right)^{2x}-3\left(\frac{5}{2}\right)^x-2=0.$$
   Обозначим $$t=\left(\frac{5}{2}\right)^x$$. Тогда
   $$5t^2-3t-2=0.$$
   $$D=9+40=49,$$
   $$t_{1,2}=\frac{3\pm 7}{10}.$$
   Получаем $$t_1=-\frac25$$, $$t_2=1$$. Так как $$t>0$$, имеем
   $$\left(\frac{5}{2}\right)^x=1,$$
   откуда
   $$x=0.$$

4. $$7\cdot 4^{x^2}-9\cdot 14^{x^2}+2\cdot 49^{x^2}=0.$$
   Представим основания:
   $$4^{x^2}=2^{2x^2},\quad 14^{x^2}=2^{x^2}\cdot 7^{x^2},\quad 49^{x^2}=7^{2x^2}.$$
   Разделим уравнение на $$7^{2x^2}$$:
   $$7\left(\frac{2}{7}\right)^{2x^2}-9\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}+2=0.$$
   Обозначим $$t=\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}$$. Тогда
   $$7t^2-9t+2=0.$$
   $$D=81-56=25,$$
   $$t_{1,2}=\frac{9\pm 5}{14}.$$
   Получаем $$t_1=1$$, $$t_2=\frac27$$.
   1) $$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}=1 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0.$$
   2) $$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}=\frac27 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

Ответ

1) $$x=2\log_{3/2}10$$; 2) $$x=-2$$; 3) $$x=0$$; 4) $$x=-1,\,0,\,1$$.