Упр.28.353 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 4^x-14·2^x-32=0; 6) 9-2^x=2^(3-x);
2) 9^x+3^x-6=0; 7) 2^sin^2(x)+5·2^cos^2(x)=7;
3) 49^x+2·7^x-35=0; 8) (0,2)^(2x-2)-126·(0,2)^x+5=0;
4) (16-3^(2x))/(3^x+4)=1; 9) 3^(1+v(x+1))=28-3^(2-v(x+1));
5) 8^(2/x)-2^((3x+3)/x)+12=0; 10) 5/3^(x-1)-2/(3^x-1)=4.
$$4^x-14\cdot 2^x-32=0$$
$$2^{2x}-14\cdot 2^x-32=0$$
Обозначим $$t=2^x$$, тогда
$$t^2-14t-32=0.$$
$$D=14^2+4\cdot 32=324,$$
$$t_{1,2}=\frac{14\pm 18}{2}.$$
Получаем $$t_1=-2$$ и $$t_2=16.$$ Так как $$2^x>0,$$ подходит только $$t=16,$$ значит
$$2^x=16,\quad x=4.$$$$9^x+3^x-6=0$$
$$3^{2x}+3^x-6=0$$
Пусть $$t=3^x,$$ тогда
$$t^2+t-6=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$
Получаем $$t_1=-3$$ и $$t_2=2.$$ Подходит только $$t=2,$$ значит
$$3^x=2,\quad x=\log_3 2.$$$$49^x+2\cdot 7^x-35=0$$
$$7^{2x}+2\cdot 7^x-35=0$$
Пусть $$t=7^x,$$ тогда
$$t^2+2t-35=0.$$
$$D=4+140=144,$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{2}.$$
Получаем $$t_1=-7$$ и $$t_2=5.$$ Подходит только $$t=5,$$ значит
$$7^x=5,\quad x=\log_7 5.$$$$\frac{16-3^{2x}}{3^x+4}=1$$
$$16-3^{2x}=3^x+4$$
$$3^{2x}+3^x-12=0.$$
Пусть $$t=3^x,$$ тогда
$$t^2+t-12=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
Получаем $$t_1=-4$$ и $$t_2=3.$$ Подходит только $$t=3,$$ значит
$$3^x=3,\quad x=1.$$$$8^{2/x}-2^{(3x+3)/x}+12=0$$
$$2^{6/x}-2^{(3x+3)/x}+12=0$$
$$2^{6/x}-2^{3+3/x}+12=0.$$
Обозначим $$t=2^{1/x},$$ тогда
$$2^{6/x}=t^6,\qquad 2^{3+3/x}=8t^3.$$
Получаем
$$t^6-8t^3+12=0.$$
Пусть $$u=t^3,$$ тогда
$$u^2-8u+12=0,$$
$$D=64-48=16,$$
$$u_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2}.$$
Значит, $$u_1=2$$ и $$u_2=6.$$
Тогда
$$t^3=2 \Rightarrow 2^{1/x}=2 \Rightarrow x=1,$$
$$t^3=6 \Rightarrow 2^{1/x}=\sqrt[3]{6} \Rightarrow \frac1x=\log_2 \sqrt[3]{6}=\frac13\log_2 6,$$
откуда
$$x=\frac{3}{\log_2 6}=\log_6 8.$$$$9-2^x=2^{3-x}$$
$$9\cdot 2^x-2^{2x}=2^3$$
$$2^{2x}-9\cdot 2^x+8=0.$$
Пусть $$t=2^x,$$ тогда
$$t^2-9t+8=0.$$
$$D=81-32=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2}.$$
Получаем $$t_1=1$$ и $$t_2=8,$$ значит
$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$2^x=8 \Rightarrow x=3.$$$$2^{\sin^2 x}+5\cdot 2^{\cos^2 x}=7$$
Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ имеем
$$2^{1-\cos^2 x}+5\cdot 2^{\cos^2 x}=7.$$
Обозначим $$t=2^{\cos^2 x},$$ тогда
$$\frac{2}{t}+5t=7.$$
Умножим на $$t$$:
$$5t^2-7t+2=0.$$
$$D=49-40=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{7\pm 3}{10}.$$
Получаем $$t_1=\frac25$$ и $$t_2=1.$$
Но $$t=2^{\cos^2 x}\in[1,2],$$ значит подходит только $$t=1.$$
Тогда
$$2^{\cos^2 x}=1 \Rightarrow \cos^2 x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$$$(0{,}2)^{2x-2}-126\cdot (0{,}2)^x+5=0$$
$$\left(\frac15\right)^{2x-2}-126\left(\frac15\right)^x+5=0$$
$$25\left(\frac15\right)^{2x}-126\left(\frac15\right)^x+5=0.$$
Пусть $$t=\left(\frac15\right)^x,$$ тогда
$$25t^2-126t+5=0.$$
$$D=126^2-4\cdot 25\cdot 5=15376,$$
$$t_{1,2}=\frac{126\pm 124}{50}.$$
Получаем $$t_1=5$$ и $$t_2=\frac1{25}.$$
Тогда
$$\left(\frac15\right)^x=5 \Rightarrow x=-1,$$
$$\left(\frac15\right)^x=\frac1{25} \Rightarrow x=2.$$$$3^{1+\sqrt{x+1}}=28-3^{2-\sqrt{x+1}}$$
Обозначим $$t=3^{\sqrt{x+1}}.$$ Тогда
$$3t=28-\frac{9}{t}.$$
Умножим на $$t$$:
$$3t^2-28t+9=0.$$
$$D=28^2-4\cdot 3\cdot 9=676,$$
$$t_{1,2}=\frac{28\pm 26}{6}.$$
Получаем $$t_1=\frac13$$ и $$t_2=9.$$
Так как $$t=3^{\sqrt{x+1}}\ge 1,$$ подходит только $$t=9.$$
Тогда
$$3^{\sqrt{x+1}}=9=3^2,$$
$$\sqrt{x+1}=2,$$
$$x=3.$$$$\frac{5}{3^{x-1}}-\frac{2}{3^x-1}=4$$
$$\frac{5\cdot 3^x-5-2\cdot 3^{x-1}}{3^{x-1}(3^x-1)}=4.$$
Умножим на $$3^{x-1}(3^x-1)$$:
$$5(3^x-1)-2\cdot 3^{x-1}=4\cdot 3^{x-1}(3^x-1).$$
После преобразований получаем
$$4\cdot 3^{2x}-17\cdot 3^x+15=0.$$
Пусть $$t=3^x,$$ тогда
$$4t^2-17t+15=0.$$
$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 15=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{17\pm 7}{8}.$$
Получаем $$t_1=\frac54$$ и $$t_2=3.$$
Тогда
$$3^x=\frac54 \Rightarrow x=\log_3 \frac54,$$
$$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$
При этом $$3^x-1\ne 0,$$ оба корня подходят.
Ответ
1) $$4$$; 2) $$\log_3 2$$; 3) $$\log_7 5$$; 4) $$1$$; 5) $$1,\ \log_6 8$$; 6) $$0,\ 3$$; 7) $$\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 8) $$-1,\ 2$$; 9) $$3$$; 10) $$1,\ \log_3 \frac54$$.
