Упр.28.347 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.347. Сколько корней уравнения sin(3x)-sin(x)+cos(2x)=0 принадлежат промежутку [-п/2; п]?

Преобразуем уравнение:

$$\sin 3x-\sin x+\cos 2x=0$$

Используем формулу $$\sin 3x=\sin x(2\cos 2x+1)$$:

$$\sin x(2\cos 2x+1)-\sin x+\cos 2x=0$$

$$2\sin x\cos 2x+\cos 2x=0$$

$$\cos 2x(2\sin x+1)=0$$

Отсюда получаем два случая:

1. $$\cos 2x=0$$

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

2. $$2\sin x+1=0$$

   $$\sin x=-\frac12$$

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$

Найдём корни, принадлежащие промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$.

Из первого случая:

$$x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}$$

Из второго случая:

$$x=-\frac{\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}$$

На заданном промежутке подходят только:

$$-\frac{\pi}{4},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}$$

Итак, таких корней 4.

Ответ

4