Упр.28.346 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.346. Найдите наименьший положительный корень уравнения sin^2(x)-0,5sin(2x)=1.

Преобразуем уравнение:

$$\sin^2 x-0{,}5\sin 2x=1$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем

$$\sin^2 x-0{,}5\cdot 2\sin x\cos x=1,$$

$$\sin^2 x-\sin x\cos x=1.$$

Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся тождеством $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

$$\sin^2 x-\sin x\cos x-1=0$$

$$\sin^2 x-\sin x\cos x-\sin^2 x-\cos^2 x=0$$

$$-\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$

$$\cos x(\cos x+\sin x)=0.$$

Отсюда:

1. $$\cos x=0,$$ тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\cos x+\sin x=0,$$ тогда

   $$1+\tg x=0,$$

   $$\tg x=-1,$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Наименьший положительный корень среди найденных значений —

$$\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$