Упр.28.345 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(2x)/(1+cos(2x))=0; 3) sin(2x)/(1-sin(x))=2cos(x);
2) (sin(x)+sin(3x))/(cos(x)-cos(3x))=0; 4) (1+cos(x)-sin(x))/cos(x)=0.

1. $$\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=0.$$
   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
   $$\sin 2x=0,\qquad 1+\cos 2x\ne 0.$$
   Тогда
   $$2x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2}.$$
   Проверим знаменатель: при $$2x=\pi+2\pi n$$ имеем $$\cos 2x=-1$$, такие значения не подходят. Значит,
   $$x=\pi n.$$

2. $$\frac{\sin x+\sin 3x}{\cos x-\cos 3x}=0.$$
   Преобразуем:
   $$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x,$$
   $$\cos x-\cos 3x=-2\sin 2x\sin x.$$
   Тогда
   $$\frac{2\sin 2x\cos x}{-2\sin 2x\sin x}=0.$$
   Для существования дроби нужно:
   $$\sin 2x\ne 0,\qquad \sin x\ne 0.$$
   Чтобы дробь была равна нулю, нужен нулевой числитель:
   $$\cos x=0.$$
   Но при $$\cos x=0$$ получаем $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ и тогда $$\sin 2x=0,$$ что запрещено. Следовательно, решений нет.

3. $$\frac{\sin 2x}{1-\sin x}=2\cos x.$$
   Умножим на $$1-\sin x$$:
   $$\sin 2x=2\cos x(1-\sin x).$$
   Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем
   $$2\sin x\cos x=2\cos x-2\sin x\cos x,$$
   $$2\cos x(1-2\sin x)=0.$$
   Отсюда:
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$
   Но при $$\cos x=0$$ исходное уравнение не выполняется, поэтому остаётся
   $$\sin x=\frac12.$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$
   Это можно записать так:
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

4. $$\frac{1+\cos x-\sin x}{\cos x}=0.$$
   Дробь равна нулю, если
   $$1+\cos x-\sin x=0,\qquad \cos x\ne 0.$$
   Тогда
   $$\sin x-\cos x=1.$$
   Используем формулу:
   $$\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
   Получаем
   $$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$
   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$
   Тогда
   $$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$
   Отсюда
   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n.$$
   Но при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ имеем $$\cos x=0,$$ что не подходит. Значит,
   $$x=\pi+2\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\pi n$$; 2) решений нет; 3) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; 4) $$x=\pi+2\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$