Упр.28.343 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) cos(x)-v3sin(x)=1; 2) cos(x)+sin(x)=v2sin(2x).
1) $$\cos x-\sqrt{3}\sin x=1.$$
Разделим обе части на $$2$$:
$$\frac12\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\sin x=\frac12.$$
Заметим, что
$$\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$\cos\frac{\pi}{3}\cos x-\sin\frac{\pi}{3}\sin x=\frac12,$$
то есть
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$
Следовательно,
$$x+\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Отсюда
$$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\cos x+\sin x=\sqrt2\sin 2x.$$
Представим левую часть в виде суммы синуса и косинуса:
$$\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\sin x=\sin 2x.$$
Так как
$$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$
получаем
$$\sin\frac{\pi}{4}\cos x+\cos\frac{\pi}{4}\sin x=\sin 2x,$$
то есть
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin 2x.$$
Используем формулу $$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$:
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin 2x=0,$$
$$2\cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{x}{2}\right)=0.$$
Тогда
$$\cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{x}{2}\right)=0.$$
1) $$\cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0$$, значит
$$\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$\frac{3x}{2}=\frac{3\pi}{8}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{x}{2}\right)=0$$, значит
$$\frac{\pi}{8}-\frac{x}{2}=\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{4}-2\pi n.$$
Это же можно записать как
$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Итак, решения второго уравнения:
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3}\quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\; x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
