Упр.28.342 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) sin^2(x)+sin^2(2x)-cos^2(3x)=0,5;
2) sin^2(x)+sin^2(2x)-sin^2(3x)-sin^2(4x)=0.

Подробный ответ

$$\sin^2 x+\sin^2 2x-\cos^2 3x=0{,}5.$$
Преобразуем квадрат косинуса и синуса:
$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \sin^2 2x=\frac{1-\cos 4x}{2},\qquad \cos^2 3x=\frac{1+\cos 6x}{2}.$$
Тогда
$$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}-\frac{1+\cos 6x}{2}=\frac12.$$
Умножим на $2$:
$$1-\cos 2x-\cos 4x-\cos 6x=1,$$
$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0.$$
Сгруппируем:
$$\cos 2x+\cos 6x=-2\cos 4x\cos 2x,$$
поэтому
$$-2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0,$$
$$\cos 4x\,(1-2\cos 2x)=0.$$
Отсюда
$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac12.$$
1) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$
2) $$\cos 2x=\frac12 \Rightarrow 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$
$$\sin^2 x+\sin^2 2x-\sin^2 3x-\sin^2 4x=0.$$
Переходим к косинусам:
$$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}-\frac{1-\cos 6x}{2}-\frac{1-\cos 8x}{2}=0.$$
После упрощения получаем
$$\cos 8x-\cos 2x+\cos 6x-\cos 4x=0.$$
Сгруппируем по формулам суммы в произведение:
$$\bigl(\cos 8x-\cos 4x\bigr)+\bigl(\cos 6x-\cos 2x\bigr)=0,$$
$$-2\sin 6x\sin 2x-2\sin 4x\sin 2x=0,$$
$$-2\sin 2x\,(\sin 6x+\sin 4x)=0.$$
Используем формулу суммы синусов:
$$\sin 6x+\sin 4x=2\sin 5x\cos x.$$
Тогда
$$-4\sin 2x\sin 5x\cos x=0.$$
Следовательно,
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$
2) $$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5}.$$
3) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$