Упр.28.341 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg^3(x)+tg^2(x)-2tg(x)-2=0;
2) sin(п/12+x)+sin(п/4-x)=1;
3) cos(x)+cos(7x)=cos(3x)+cos(5x);
4) cos(x)-cos(3x)+sin(x)=0;
5) sin(3x)-2sin(x)=0;
6) cos(7x)+sin(8x)=cos(3x)-sin(2x).

1. $$\tg^3 x+\tg^2 x-2\tg x-2=0$$

   Сгруппируем:

   $$\tg^2 x(\tg x+1)-2(\tg x+1)=0$$

   $$(\tg^2 x-2)(\tg x+1)=0$$

   Тогда

   $$\tg x=\pm\sqrt2 \quad \text{или} \quad \tg x=-1.$$

   Следовательно,

   $$x=\pm\arctg\sqrt2+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin\left(\frac{\pi}{12}+x\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=1$$

   Применим формулу суммы синусов:

   $$2\sin\frac{\pi}{6}\cos\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=1$$

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=1$$

   Отсюда

   $$x-\frac{\pi}{12}=2\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos x+\cos 7x=\cos 3x+\cos 5x$$

   Используем формулу суммы косинусов:

   $$2\cos 4x\cos 3x=2\cos 4x\cos x$$

   $$2\cos 4x(\cos 3x-\cos x)=0$$

   $$2\cos 4x\cdot(-2\sin 2x\sin x)=0$$

   Получаем:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$

   Тогда

   $$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$x=\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{2},$$ окончательно:

   $$x=\frac{\pi n}{2}\quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos x-\cos 3x+\sin x=0$$

   Преобразуем разность косинусов:

   $$\sin x-2\sin 2x\sin(-x)=0$$

   $$\sin x(1+2\sin 2x)=0$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=-\frac12.$$

   Тогда

   $$x=\pi n$$

   или

   $$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$\sin 3x-2\sin x=0$$

   Используем формулу $$\sin 3x=2\sin x\cos 2x+\sin x$$:

   $$2\sin x\cos 2x-\sin x=0$$

   $$\sin x(2\cos 2x-1)=0$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac12.$$

   Следовательно,

   $$x=\pi n$$

   или

   $$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$\cos 7x+\sin 8x=\cos 3x-\sin 2x$$

   Перенесём слагаемые:

   $$\sin 8x+\sin 2x=\cos 3x-\cos 7x$$

   Применим формулы преобразования суммы в произведение:

   $$2\sin 5x\cos 3x=-2\sin 5x\sin(-2x)$$

   $$2\sin 5x(\cos 3x-\sin 2x)=0$$

   Так как

   $$\cos 3x-\sin 2x=\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)-\sin 2x,$$

   то

   $$2\sin 5x\cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{5x}{2}\right)=0.$$

   Отсюда

   $$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{5x}{2}\right)=0.$$

   Получаем:

   $$x=\frac{\pi n}{5},\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pm\arctg\sqrt2+\pi n,\; -\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
2) $$x=\frac{\pi}{12}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
3) $$x=\frac{\pi n}{2}\ \text{или}\ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z$$
4) $$x=\pi n\ \text{или}\ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$
5) $$x=\pi n\ \text{или}\ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
6) $$x=\frac{\pi n}{5}\ \text{или}\ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \text{или}\ x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z$$