Упр.28.340 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3sin(x)-v3cos(x)=0;
2) 3sin^2(x)-2sin(x)cos(x)-cos^2(x)=0;
3) 4sin^2(x)+sin(2x)=3;
4) sin(x)-4cos(x)=1;
5) 6sin^2(x)+2sin(2x)+4cos^2(x)=3;
6) (2sin(x)-cos(x))/(5sin(x)-4cos(x))=1/3;
7) 8sin^2(x)+4sin^2(2x)+8cos(2x)=5;
8) sin^2(x)=cos^4(x/2)-sin^4(x/2).

1. $$3\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$$
   $$3\tg x=\sqrt{3}$$
   $$\tg x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
   $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$3\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$
   $$3\tg^2 x-2\tg x-1=0$$
   $$D=4+12=16$$
   $$\tg x_1=\frac{2-4}{6}=-\frac13,\quad \tg x_2=\frac{2+4}{6}=1$$
   $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$4\sin^2 x+\sin 2x=3$$
   $$4\sin^2 x+2\sin x\cos x=3$$
   $$4\sin^2 x+2\sin x\cos x-3(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$
   $$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$
   $$\tg^2 x+2\tg x-3=0$$
   $$D=4+12=16$$
   $$\tg x_1=-3,\quad \tg x_2=1$$
   $$x=-\arctg 3+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin x-4\cos x=1$$
   $$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-4\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}$$
   $$3\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-5\cos^2\frac{x}{2}=0$$
   $$3\tg^2\frac{x}{2}+2\tg\frac{x}{2}-5=0$$
   $$D=4+60=64$$
   $$\tg\frac{x}{2}=-\frac53,\quad \tg\frac{x}{2}=1$$
   $$x=-2\arctg\frac53+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$6\sin^2 x+2\sin 2x+4\cos^2 x=3$$
   $$6\sin^2 x+4\sin x\cos x+4\cos^2 x=3$$
   $$3\sin^2 x+4\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
   $$3\tg^2 x+4\tg x+1=0$$
   $$D=16-12=4$$
   $$\tg x_1=-1,\quad \tg x_2=-\frac13$$
   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=-\arctg\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$\frac{2\sin x-\cos x}{5\sin x-4\cos x}=\frac13$$
   $$3(2\sin x-\cos x)=5\sin x-4\cos x$$
   $$6\sin x-3\cos x=5\sin x-4\cos x$$
   $$\sin x+\cos x=0$$
   $$\tg x=-1$$
   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

7. $$8\sin^2 x+4\sin^2 2x+8\cos 2x=5$$
   $$8\sin^2 x+16\sin^2 x\cos^2 x+8(\cos^2 x-\sin^2 x)=5$$
   $$5\sin^2 x-16\sin^2 x\cos^2 x-3\cos^2 x=0$$
   $$5\sin^2 x-16\sin^2 x(1-\sin^2 x)-3(1-\sin^2 x)=0$$
   $$16\sin^4 x-8\sin^2 x-3=0$$
   $$D=8^2+4\cdot16\cdot3=256$$
   $$\sin^2 x_1=-\frac14,\quad \sin^2 x_2=\frac34$$
   $$\sin^2 x_1\notin[0,1],\quad \sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$
   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

8. $$\sin^2 x=\cos^4\frac{x}{2}-\sin^4\frac{x}{2}$$
   $$\sin^2 x=\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right)$$
   $$\sin^2 x=\cos x$$
   $$1-\cos^2 x=\cos x$$
   $$\cos^2 x+\cos x-1=0$$
   $$D=1+4=5$$
   $$\cos x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$
   Так как $$\cos x\in[-1,1],$$ подходит только
   $$\cos x=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$
   Тогда
   $$x=\pm\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$
2) $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$
3) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$
4) $$x=-2\arctg\frac53+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$$
5) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ -\arctg\frac13+\pi n$$
6) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$
7) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$
8) $$x=\pm\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$